同倫群

設 ${\displaystyle X}$ 為拓撲空間而 ${\displaystyle S^{n}}$ 為 ${\displaystyle n}$ 維球面。選定基點 ${\displaystyle a\in S^{n},x\in X}$。定義 ${\displaystyle \pi _{n}(X,x)}$ 為 ${\displaystyle [S^{n},X]}$，也就是由保持基點的連續映射 ${\displaystyle f:S^{n}\to X}$ 的同倫類構成的集合。為了方便起見，以緯垂坐標表示球面上的點，即：${\displaystyle s_{1}\wedge \cdots \wedge s_{n}}$ 表示 ${\displaystyle (s_{1},\ldots ,s_{n})\in [0,1]^{n}}$ 在商映射 ${\displaystyle [0,1]^{n}\to [0,1]^{n}/\partial ([0,1]^{n})\simeq S^{n}}$ 下的像。取 ${\displaystyle S^{n}}$ 的基點為 ${\displaystyle a=0\wedge \cdots \wedge 0}$。

注意到當 ${\displaystyle n=0}$ 時，${\displaystyle S^{0}=\{-1,1\}}$ 而 ${\displaystyle \pi _{0}(X,x)}$ 的元素一一對應到 ${\displaystyle X}$ 的連通分支。

基本群的群運算

對於 ${\displaystyle n\geq 1}$，${\displaystyle \pi _{n}(X,x)}$ 帶有自然的群結構：首先，我們構造一個連續映射：

${\displaystyle s:S^{n}\to S^{n}\vee S^{n}}$

在此 ${\displaystyle S^{n}\vee S^{n}}$ 定義為將兩份 ${\displaystyle S^{n}}$ 沿基點黏合得到的拓撲空間。映射 ${\displaystyle s}$ 定義為

${\displaystyle s(x_{1}\wedge \cdots \wedge x_{n})={\begin{cases}x_{1}\wedge \cdots \wedge x_{n-1}\wedge (1-2x_{n}),&x_{n}\leq {\frac {1}{2}}\\x_{1}\wedge \cdots \wedge x_{n-1}\wedge (2x_{n}-1),&x_{n}\geq {\frac {1}{2}}\end{cases}}}$

直觀來看，${\displaystyle s}$ 的效應相當於將球面 ${\displaystyle S^{n}}$ 沿赤道掐扁。

給定 ${\displaystyle f,g:I^{n}\to X}$，我們定義 ${\displaystyle f*g:=(f\sqcup g)\circ s}$，由於 ${\displaystyle f(a)=g(a)=x}$，此函數有完善的定義。此外也不難驗證 ${\displaystyle f*g}$ 僅依賴於 ${\displaystyle f,g}$ 的同倫類。

可以證明運算 ${\displaystyle f,g\mapsto f*g}$ 滿足群公理，其單位元素為常值映射 ${\displaystyle \forall s\in S^{n},\;e(s)=x}$。${\displaystyle \pi _{1}(X,x)}$ 不外就是基本群；而當 ${\displaystyle n\geq 2}$ 時，${\displaystyle \pi _{n}(X,x)}$ 是阿貝爾群，稱為高階同倫群。不同基點對應的同倫群只差一個自然同構。

若在定義中省掉基點，則得到的集合 ${\displaystyle [S^{n},X]}$ 等同於 ${\displaystyle \pi _{n}(X,x)}$ 在 ${\displaystyle \pi _{1}(X,x)}$ 作用下的軌道集。可見若 ${\displaystyle \pi _{1}(X,x)\neq 0}$，${\displaystyle [S^{n},X]}$ 未必有自然的群結構。

設 ${\displaystyle p:E\to B}$ 為保基點的塞爾纖維化，纖維的同倫類定義為 ${\displaystyle F}$。此時可導出同倫群的長正合序列（以下略去基點）：

${\displaystyle \cdots \to \pi _{n}(F)\to \pi _{n}(E)\to \pi _{n}(B)\to \pi _{n-1}(F)\to \cdots \to \pi _{0}(E)\to \pi (B)\to 1}$

儘管這裡的 ${\displaystyle \pi _{0}}$ 只是個集合，而 ${\displaystyle \pi _{1}}$ 未必是阿貝爾群，它們仍帶有特殊的元素（${\displaystyle \pi _{n\geq 1}}$ 的單位元、${\displaystyle \pi _{0}}$ 中包含基點的連通分支），可以用這些元素定義正合序列。

纖維化映射是計算高階同倫群的基本手段。

給定 ${\displaystyle A\subset X}$，可以定義相對同倫群 ${\displaystyle \pi _{n}(X,A)}$ 為映射 ${\displaystyle f:(D^{n},S^{n-1})\to (X,x)}$ 的同倫類，這意味著我們僅考慮滿足 ${\displaystyle f(S^{n-1})=x}$ 的連續映射，以及其間滿足相同限制的同倫。若取 ${\displaystyle A}$ 為一點，便回到同倫群的原始定義。相對同倫群也有纖維化長正合序列。

• Hatcher, Allen, , Cambridge University Press, 2002 [2008-04-15], ISBN 978-0-521-79540-1, （原始内容存档于2012-02-20）