吴消元法

多项式：

P=P(${\displaystyle x_{1}}$,${\displaystyle x_{2}}$,……${\displaystyle x_{n}}$)中

主变元

变元(${\displaystyle x_{1}}$,${\displaystyle x_{2}}$,……${\displaystyle x_{n}}$)中下标最大下标

称为多项式P的主变元，记为 Ivar(P)[1]

例如 P=${\displaystyle -2*x_{2}^{2}-x_{1}*x_{2}^{2}+2*x_{1}*x_{2}+2*x_{1}^{2}*x_{1}+x_{1}^{3}}$

变元为${\displaystyle x_{1}}$,${\displaystyle x_{2}}$,主变元为 Ivar(P)${\displaystyle =x_{2}}$。

多项式的类

多项式P的类定义为 主变元 Ivar(P)的下标，记作 cls(P).

上例多项式P的类 为 cls(P)=2。

多项式的次数

多项式关于变元${\displaystyle x_{i}}$的次数 记为 deg(P,${\displaystyle x_{i}}$)[2]

多项式关于主变元的次数，记为deg(P)=deg(P,ivar(P))

多项式的长度，定义为多项式的项数，记为 t(P).

多项式的指标集[t(P),cls(P),deg(P)]。

初式

多项式的初式，是多项式主变数最高幂项的系数，记为 init(P)[3]

例如 P=${\displaystyle -2*x_{2}^{2}-x_{1}*x_{2}^{2}+2*x_{1}*x_{2}+2*x_{1}^{2}*x_{1}+x_{1}^{3}}$

${\displaystyle =(-2-x_{1})*x_{2}^{2}+2*x_{1}*x_{2}+2*x_{1}^{2}*x_{1}+x_{1}^{3}}$

init(P)=${\displaystyle (-x_{1}-2)}$;

初式 init(P)是一个除主变元之外的多项式I

：I=I(${\displaystyle x_{1}}$,${\displaystyle x_{2}}$,……${\displaystyle x_{c-1}}$)

其中 c=cls(P) 是多项式 P的类。

正则形式

将多项式表示为

P=${\displaystyle I*x_{c}^{d}+}$关于${\displaystyle x_{c}}$的低次幂项，称为多项式P的正则形式。[4]

P，Q为非零多项式，如果 cls(P)<cls(Q)，或cls(P)=cls(Q)，但deg(P)<deg(Q),则称P的序低于Q的序。记为 P<Q。

如果P<Q，或Q< P 都不成立，则P，Q同序，记为 P~Q.[5][6]

升列

多项式集 AS: ${\displaystyle A_{1}}$,${\displaystyle A_{2}}$....${\displaystyle A_{r}}$是一个升列

如果满足以下两个条件：[10]

1. cls(${\displaystyle A_{1}}$） < cls(${\displaystyle A_{2}}$) <....< cls(${\displaystyle A_{r}}$)
2. init(${\displaystyle A_{j}}$) 关于 ${\displaystyle A_{i}}$ 对于任意的 i<j 是约化的。

三角列

如果非零多项式集 AS: ${\displaystyle A_{1}}$,${\displaystyle A_{2}}$....${\displaystyle A_{r}}$

只满足：

cls(${\displaystyle A_{1}}$） < cls(${\displaystyle A_{2}}$) <....< cls(${\displaystyle A_{r}}$)

则非零多项式集 AS 是一个三角列，又称为弱升列。[11]

两个多项式:F,G, 其中 cls(F)=c,init(F)=I,通过多项式除法可得：

${\displaystyle I^{s}*G=Q*F+R}$

如取s尽量小，R称为 G关于F的Ritt余式，记为 R=Remdr(G/F)[12]

零点集

多项式方程组 PS =0 的全部解，称为PS 的零点集，记为 Zero(PS)[13]

两个多项式方程组 ${\displaystyle P_{1}}$,${\displaystyle P_{2}}$

如果 R=Remdr(${\displaystyle P_{2}}$/${\displaystyle P_{1}}$)

则 Zero(PS)=Zero(${\displaystyle P_{2}}$,${\displaystyle P_{1}}$)=Zero((${\displaystyle P_{2}}$,${\displaystyle P_{1}}$,R)

加入余式，零点集不变。[14]

多项式对升列的余式

给出一个多项式P=P(${\displaystyle x_{1}}$,${\displaystyle x_{2}}$……${\displaystyle x_{k}}$}和一个升列 AS={${\displaystyle A_{1}}$,${\displaystyle A_{2}}$……${\displaystyle A_{k}}$}

按反向次序连环计算下列余式：

${\displaystyle r_{k}}$=Remdr(P / ${\displaystyle A_{k}}$)

${\displaystyle r_{k-1}}$=Remdr(${\displaystyle r_{k}}$ / ${\displaystyle A_{k-1}}$)

${\displaystyle \ldots }$

${\displaystyle r_{1}}$=Remdr(${\displaystyle r_{2}}$ / ${\displaystyle A_{1}}$)

最后得到的余式 ${\displaystyle r_{1}}$≡R≡Remdr(P/AS) 称为 P 对于 AS 的余式。[15]

R 是唯一确定的多项式。

R 对于 AS 是约化的。[16]

• 王东明 以 Maple 编写的 CharSets 软件包，自1991年就成为Maple Shared Library 的软件包，也是他2003年 Epsilon Maple软件包的组成单元之一[17]
• 数学机械化自动推理平台 MMP 3.0 有 charser 软件，但MMP 3.0 平台为半成品，用户寥寥无几，远不如 王东明 CharSets 软件包成功。

• 计算机视觉、自動化定理證明、机器人、生物[18]