唯一性定理 (泊松方程)

在高斯单位制，静电学中的泊松方程的一般表达是

${\displaystyle \mathbf {\nabla } \cdot (\epsilon \mathbf {\nabla } \varphi )=-\rho _{f}}$

其中 ${\displaystyle \varphi }$ 是电势， ${\displaystyle \mathbf {E} =-\mathbf {\nabla } \varphi }$ 是电场。

对于很大一部分的边值条件，势函数的梯度的唯一性（即电场的唯一性）可以如下证明。

反证，假设电势有两个解 ${\displaystyle \varphi _{1}}$ 和 ${\displaystyle \varphi _{2}}$ 。 令 ${\displaystyle \phi =\varphi _{2}-\varphi _{1}}$ ，也就是两个解的差。 已知 ${\displaystyle \varphi _{1}}$ 和 ${\displaystyle \varphi _{2}}$ 均满足泊松方程， ${\displaystyle \phi }$ 必须满足

${\displaystyle \mathbf {\nabla } \cdot (\epsilon \mathbf {\nabla } \phi )=0}$

应用一个恒等式

${\displaystyle \nabla \cdot (\phi \epsilon \,\nabla \phi )=\epsilon \,(\nabla \phi )^{2}+\phi \nabla \cdot (\epsilon \,\nabla \phi )}$

注意到右边第二项恒等于零，于是可以将方程改写为

${\displaystyle \mathbf {\nabla } \cdot (\phi \epsilon \mathbf {\nabla } \phi )=\epsilon (\mathbf {\nabla } \phi )^{2}}$

在边值条件所确定的边界内对体积进行积分

${\displaystyle \int _{V}\mathbf {\nabla } \cdot (\phi \epsilon \mathbf {\nabla } \phi )d^{3}\mathbf {r} =\int _{V}\epsilon (\mathbf {\nabla } \phi )^{2}\,d^{3}\mathbf {r} }$

应用散度定理，上式可以改写为

${\displaystyle \sum _{i}\int _{S_{i}}(\phi \epsilon \mathbf {\nabla } \phi )\cdot \mathbf {dS} =\int _{V}\epsilon (\mathbf {\nabla } \phi )^{2}\,d^{3}\mathbf {r} }$

其中 ${\displaystyle S_{i}}$ 是边值条件确定的曲面边界。

由于 ${\displaystyle \epsilon >0}$ 且 (${\displaystyle {\mathbf {\nabla } }\phi )^{2}\geq 0}$ ，那么当上式左边的曲面积分等于零的时候， ${\displaystyle {\mathbf {\nabla } }\phi }$ 必须处处为零（即得 ${\displaystyle {\mathbf {\nabla } }\varphi _{1}={\mathbf {\nabla } }\varphi _{2}}$)。

这就意味着，该方程的解的梯度是唯一确定的，当且仅当如下条件成立

${\displaystyle \sum _{i}\int _{S_{i}}(\phi \epsilon \,\mathbf {\nabla } \phi )\cdot \mathbf {dS} =0}$

使得上式成立的边值条件包括：

1. 狄利克雷边界条件：${\displaystyle \varphi }$ 在曲面边界有定义。 因此 ${\displaystyle \varphi _{1}=\varphi _{2}}$ 。于是，在边界任意位置 ${\displaystyle \phi =0}$ ，上式成立。
2. 诺伊曼边界条件：${\displaystyle {\mathbf {\nabla } }\varphi }$ 在曲面边界有定义。 因此 ${\displaystyle {\mathbf {\nabla } }\varphi _{1}={\mathbf {\nabla } }\varphi _{2}}$ 。于是，在边界任意位置 ${\displaystyle {\mathbf {\nabla } }\phi =0}$ ，上式成立。
3. 修改过的诺伊曼边界条件 （也称为罗宾边界条件——其中假设边界都是带有已知电荷的导体）：只需在边界应用高斯定律，${\displaystyle {\mathbf {\nabla } }\varphi }$ 也是有定义的。 因此，上式成立。
4. 混合边值条件（上述三个条件的组合）：唯一性定理仍然成立。

边界曲面还可以是无穷远的边界（即所求的电势所在的区域没有边界）。在这种情况下，只要上述的曲面积分等于零，唯一性定理仍然成立。举个例子，当被积函数下降的速度比表面积快的时候，该积分趋近于零。

• 泊松方程
• 高斯定律
• 库仑定律
• 镜像法
• 格林函数
• 其他唯一性定理
• 球谐函数

• L.D. Landau, E.M. Lifshitz. Vol. 2 4th. Butterworth–Heinemann. 1975. ISBN 978-0-7506-2768-9.
• J. D. Jackson. 3rd. John Wiley & Sons. 1998. ISBN 978-0-471-30932-1.