半單李代數

在數學中，單李代數是除了零和本身之外沒有其它理想的李代數。半單李代數是指能表為單李代數的直和的李代數。若一個李代數能表為半單李代數與阿貝爾李代數的直和，則稱之為約化李代數。半單李代數與約化李代數是李代數研究中的主要對象。

設 ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ 為李代數，其半單性有下述刻劃：

• ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ 能表為單李代數之直和。
• Killing 形式 ${\displaystyle B(x,y):=\mathrm {Tr} (\mathrm {ad} X\,\mathrm {ad} Y)}$ 非退化。
• ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ 沒有非零的阿貝爾理想。
• ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ 沒有非零的可解理想。
• ${\displaystyle \mathrm {rad} ({\mathfrak {g}})=(0)}$

此外，若 ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ 定義在零特徵的域上，則可追加一項

• ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ 半單若且唯若每個 ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ 的表示都是完全可約的。

半單李代數的另一個重要性質是 ${\displaystyle [{\mathfrak {g}},{\mathfrak {g}}]={\mathfrak {g}}}$，其逆未必成立。