四次方程

如果${\displaystyle e=0\,}$，那么其中一个根为${\displaystyle x=0\,}$，其它根可以通过消去四次项，并解产生的三次方程,

${\displaystyle ax^{3}+bx^{2}+cx+d=0\,}$

四次方程式中若${\displaystyle b\ }$ 和 ${\displaystyle d\ }$ 均為 ${\displaystyle 0\ }$者有下列形态：

${\displaystyle ax^{4}+cx^{2}+e=0\,\!}$

因此它是一個雙二次方程式。解雙二次方程式非常容易，只要設 ${\displaystyle z=x^{2}\,}$ ，我們的方程式便成為：

${\displaystyle az^{2}+cz+e=0\,\!}$

這是一個簡單的二次方程式，其根可用二次方程式的求根公式來解：

${\displaystyle z={{-c\pm {\sqrt {c^{2}-4ae}}} \over {2a}}\,\!}$

當我們求得 z 的值以後，便可以從中得到${\displaystyle x\,}$ 的值：

${\displaystyle x_{1}=+{\sqrt {z_{1}}}\,\!}$

${\displaystyle x_{2}=-{\sqrt {z_{1}}}\,\!}$

${\displaystyle x_{3}=+{\sqrt {z_{2}}}\,\!}$

${\displaystyle x_{4}=-{\sqrt {z_{2}}}\,\!}$

若任何一個 ${\displaystyle z\,}$ 的值為負數或複數，那麼一些 ${\displaystyle x\,}$ 的值便是複數。

要让以下四次方程式变成标准的四次方程式，先在等式两边分别除以${\displaystyle a\,}$

${\displaystyle ax^{4}+bx^{3}+cx^{2}+dx+e=0\qquad \qquad (1')}$

${\displaystyle x^{4}+{b \over a}x^{3}+{c \over a}x^{2}+{d \over a}x+{e \over a}=0.}$

第一步：消除 ${\displaystyle x^{3}\,}$列。为了做到这一步，先把变量${\displaystyle x\,}$变成${\displaystyle u\,}$，其中

${\displaystyle x=u-{b \over 4a}}$.

将变量替换：${\displaystyle \left(u-{b \over 4a}\right)^{4}+{b \over a}\left(u-{b \over 4a}\right)^{3}+{c \over a}\left(u-{b \over 4a}\right)^{2}+{d \over a}\left(u-{b \over 4a}\right)+{e \over a}=0.}$

展开后变成：${\displaystyle \left(u^{4}-{b \over a}u^{3}+{6u^{2}b^{2} \over 16a^{2}}-{4ub^{3} \over 64a^{3}}+{b^{4} \over 256a^{4}}\right)+{b \over a}\left(u^{3}-{3u^{2}b \over 4a}+{3ub^{2} \over 16a^{2}}-{b^{3} \over 64a^{3}}\right)+{c \over a}\left(u^{2}-{ub \over 2a}+{b^{2} \over 16a^{2}}\right)+{d \over a}\left(u-{b \over 4a}\right)+{e \over a}=0.}$

整理后变成以u为变量的表达式

${\displaystyle u^{4}+\left({-3b^{2} \over 8a^{2}}+{c \over a}\right)u^{2}+\left({b^{3} \over 8a^{3}}-{bc \over 2a^{2}}+{d \over a}\right)u+\left({-3b^{4} \over 256a^{4}}+{b^{2}c \over 16a^{3}}-{bd \over 4a^{2}}+{e \over a}\right)=0.}$

现在改变表达式的系数，为

${\displaystyle \alpha ={-3b^{2} \over 8a^{2}}+{c \over a},}$

${\displaystyle \beta ={b^{3} \over 8a^{3}}-{bc \over 2a^{2}}+{d \over a},}$

${\displaystyle \gamma ={-3b^{4} \over 256a^{4}}+{b^{2}c \over 16a^{3}}-{bd \over 4a^{2}}+{e \over a}.}$

结果就是我们期望的低级四次方程式，为

${\displaystyle u^{4}+\alpha u^{2}+\beta u+\gamma =0\qquad \qquad (1)}$

如果 ${\displaystyle \beta =0\,}$ 那么等式就变成了雙二次方程式，更加容易解决（解释上面）；利用反向替代，我们可以获得我们要解决的变量 ${\displaystyle x\,}$的值.

这种降低的四次方程的方法是被费拉里发现的，然而，这种方式曾经被发现过。接下来，利用一个恆等式

${\displaystyle (u^{2}+\alpha )^{2}-u^{4}-2\alpha u^{2}=\alpha ^{2}\,}$

从方程 (1)和上式，得出：

${\displaystyle (u^{2}+\alpha )^{2}+\beta u+\gamma =\alpha u^{2}+\alpha ^{2}.\qquad \qquad (2)}$

结果把 ${\displaystyle u^{4}\,}$配成了完全平方式：${\displaystyle (u^{2}+\alpha )^{2}\,}$。左式中，${\displaystyle \alpha u^{2}\,}$ 并不出现，但其符号已改变并被移到右边。

下一步是在方程${\displaystyle \left(2\right)\,}$ 左边的完全平方中插入变量 ${\displaystyle y\,}$，相应地在右边插入一项${\displaystyle 2y\,}$。根据恒等式

${\displaystyle {\begin{matrix}(u^{2}+\alpha +y)^{2}-(u^{2}+\alpha )^{2}&=&2y(u^{2}+\alpha )+y^{2}\ \ \\&=&2yu^{2}+2y\alpha +y^{2},\end{matrix}}}$

及

${\displaystyle 0=(\alpha +2y)u^{2}-2yu^{2}-\alpha u^{2}\,}$两式相加，可得

${\displaystyle (u^{2}+\alpha +y)^{2}-(u^{2}+\alpha )^{2}=(\alpha +2y)u^{2}-\alpha u^{2}+2y\alpha +y^{2}\qquad \qquad }$（${\displaystyle y\,}$的插入）

与等式(2)相加，得

${\displaystyle (u^{2}+\alpha +y)^{2}+\beta u+\gamma =(\alpha +2y)u^{2}+(2y\alpha +y^{2}+\alpha ^{2})\,}$

也就是

${\displaystyle (u^{2}+\alpha +y)^{2}=(\alpha +2y)u^{2}-\beta u+(y^{2}+2y\alpha +\alpha ^{2}-\gamma ).\qquad \qquad (3)}$

现在我们需要寻找一个${\displaystyle y\,}$值，使得方程${\displaystyle \left(3\right)\,}$的右边为完全平方。而这要令二次方程的判别式为零。为此，首先展开完全平方式为二次式：

${\displaystyle (su+t)^{2}=(s^{2})u^{2}+(2st)u+(t^{2})\,}$

右边的二次式有三个系数。可以验证，把第二项系数平方，再减去第一与第三项系数之积的四倍，可得到零：

${\displaystyle (2st)^{2}-4(s^{2})(t^{2})=0\,}$

因此，为了使方程(3)的右边为完全平方，我们必须解出下列方程：

${\displaystyle (-\beta )^{2}-4(2y+\alpha )(y^{2}+2y\alpha +\alpha ^{2}-\gamma )=0\,}$

把二项式与多项式相乘，

${\displaystyle \beta ^{2}-4[2y^{3}+5\alpha y^{2}+(4\alpha ^{2}-2\gamma )y+(\alpha ^{3}-\alpha \gamma )]=0\,}$两边除以${\displaystyle 4\,}$，再把${\displaystyle -{\frac {\beta ^{2}}{4}}\,}$移动到右边，

${\displaystyle 2y^{3}+5\alpha y^{2}+(4\alpha ^{2}-2\gamma )y+\left(\alpha ^{3}-\alpha \gamma -{\beta ^{2} \over 4}\right)=0\qquad \qquad }$

这是关于${\displaystyle y\,}$的三次方程。两边除以${\displaystyle 2\,}$，

${\displaystyle y^{3}+{5 \over 2}\alpha y^{2}+(2\alpha ^{2}-\gamma )y+\left({\alpha ^{3} \over 2}-{\alpha \gamma \over 2}-{\beta ^{2} \over 8}\right)=0.\qquad \qquad (4)}$

方程${\displaystyle \left(4\right)\,}$是嵌套的三次方程。为了解方程${\displaystyle \left(4\right)\,}$，我们首先用换元法把它转化为减少次数的三次方程：

${\displaystyle y=v-{5 \over 6}\alpha .}$

方程${\displaystyle \left(4\right)\,}$变为

${\displaystyle \left(v-{5 \over 6}\alpha \right)^{3}+{5 \over 2}\alpha \left(v-{5 \over 6}\alpha \right)^{2}+(2\alpha ^{2}-\gamma )\left(v-{5 \over 6}\alpha \right)+\left({\alpha ^{3} \over 2}-{\alpha \gamma \over 2}-{\beta ^{2} \over 8}\right)=0.}$

展开，得

${\displaystyle \left(v^{3}-{5 \over 2}\alpha v^{2}+{25 \over 12}\alpha ^{2}v-{125 \over 216}\alpha ^{3}\right)+{5 \over 2}\alpha \left(v^{2}-{5 \over 3}\alpha v+{25 \over 36}\alpha ^{2}\right)+(2\alpha ^{2}-\gamma )v-{5 \over 6}\alpha (2\alpha ^{2}-\gamma )+\left({\alpha ^{3} \over 2}-{\alpha \gamma \over 2}-{\beta ^{2} \over 8}\right)=0.}$

合并同类项，得

${\displaystyle v^{3}+\left(-{\alpha ^{2} \over 12}-\gamma \right)v+\left(-{\alpha ^{3} \over 108}+{\alpha \gamma \over 3}-{\beta ^{2} \over 8}\right)=0.}$

这是嵌套的三次方程。

记

${\displaystyle P=-{\alpha ^{2} \over 12}-\gamma ,}$

${\displaystyle Q=-{\alpha ^{3} \over 108}+{\alpha \gamma \over 3}-{\beta ^{2} \over 8}.}$

则此三次方程变为

${\displaystyle v^{3}+Pv+Q=0.\qquad \qquad (5)}$

方程${\displaystyle \left(5\right)\,}$的解(三个解中任何一个都可以)为

令 ${\displaystyle U={\sqrt[{3}]{{-Q \over 2}\pm {\sqrt {{Q^{2} \over 4}+{P^{3} \over 27}}}}}}$

（由三次方程）

${\displaystyle v=U-{P \over 3U}}$

则原来的嵌套三次方程的解为

${\displaystyle y=-{5 \over 6}\alpha -{P \over 3U}+U\qquad \qquad (6)}$

注意 ${\displaystyle \left(1\right)\,}$： ${\displaystyle P=0\Longrightarrow {Q \over 2}+{\sqrt {{Q^{2} \over 4}+{P^{3} \over 27}}}=0}$

注意 ${\displaystyle \left(2\right)\,}$： ${\displaystyle \lim _{P\to 0}{P \over {\sqrt[{3}]{{Q \over 2}+{\sqrt {{Q^{2} \over 4}+{P^{3} \over 27}}}}}}=0}$

${\displaystyle y\,}$的值已由${\displaystyle \left(6\right)\,}$式给定，现在知道等式${\displaystyle \left(3\right)\,}$的右边是完全平方的形式

${\displaystyle s^{2}u^{2}+2stu+t^{2}=\left({\sqrt {s^{2}}}u+{2st \over 2{\sqrt {s^{2}}}}\right)^{2}}$

这对于平方根的正负号均成立，只要等式两边取相同的符号。${\displaystyle A\,}$的正负是多余的，因为它将被本页后面马上将提到的另一个${\displaystyle \pm a\,}$消去。

从而它可分解因式为：

${\displaystyle (\alpha +2y)u^{2}+(-\beta )u+(y^{2}+2y\alpha +\alpha ^{2}-\gamma )=\left[{\sqrt {\alpha +2y}}u+{(-\beta ) \over 2{\sqrt {\alpha +2y}}}\right]^{2}}$.

注：若 ${\displaystyle \beta \neq 0\,}$ 则 ${\displaystyle \alpha +2y\neq 0\,}$。如果 ${\displaystyle \beta =0\,}$则方程为双二次方程，前面已讨论过。

因此方程${\displaystyle \left(3\right)\,}$化为

${\displaystyle (u^{2}+\alpha +y)^{2}=\left({\sqrt {\alpha +2y}}u-{\beta \over 2{\sqrt {\alpha +2y}}}\right)^{2}\qquad \qquad (7)}$.

等式${\displaystyle \left(7\right)\,}$两边各有一个乘起来的完全平方式。两完全平方式相等。

如果两平方式相等，则两平方式的因子也相等，即有下式：

${\displaystyle (u^{2}+\alpha +y)=\pm \left({\sqrt {\alpha +2y}}u-{\beta \over 2{\sqrt {\alpha +2y}}}\right)\qquad \qquad (7')}$.

对 ${\displaystyle u\,}$合并同类项，得

${\displaystyle u^{2}+\left(\mp _{s}{\sqrt {\alpha +2y}}\right)u+\left(\alpha +y\pm _{s}{\beta \over 2{\sqrt {\alpha +2y}}}\right)=0\qquad \qquad (8)}$.

注：${\displaystyle \pm _{s}}$ 及 ${\displaystyle \mp _{s}}$ 中的下标${\displaystyle s\,}$ 用来标记它们是相关的。

方程${\displaystyle \left(8\right)\,}$是关于${\displaystyle u\,}$的二次方程。其解为

${\displaystyle u={\pm _{s}{\sqrt {\alpha +2y}}\pm _{t}{\sqrt {(\alpha +2y)-4(\alpha +y\pm _{s}{\beta \over 2{\sqrt {\alpha +2y}}})}} \over 2}.}$

化简，得

${\displaystyle u={\pm _{s}{\sqrt {\alpha +2y}}\pm _{t}{\sqrt {-\left(3\alpha +2y\pm _{s}{2\beta \over {\sqrt {\alpha +2y}}}\right)}} \over 2}.}$

这就是降低次数的四次方程的解，因此原来的四次方程的解为

${\displaystyle x=-{b \over 4a}+{\pm _{s}{\sqrt {\alpha +2y}}\pm _{t}{\sqrt {-\left(3\alpha +2y\pm _{s}{2\beta \over {\sqrt {\alpha +2y}}}\right)}} \over 2}.\qquad \qquad (8')}$

注意：两个 ${\displaystyle \pm _{s}}$ 来自等式${\displaystyle \left(7^{'}\right)\,}$的同一处，并且它们应有相同的符号，而 ${\displaystyle \pm _{t}}$ 的符号是无关的。

给定一个四次方程

${\displaystyle ax^{4}+bx^{3}+cx^{2}+dx+e=0\,}$

其解可用如下方法求出：

${\displaystyle \alpha =-{3b^{2} \over 8a^{2}}+{c \over a},}$

${\displaystyle \beta ={b^{3} \over 8a^{3}}-{bc \over 2a^{2}}+{d \over a},}$

${\displaystyle \gamma ={-3b^{4} \over 256a^{4}}+{b^{2}c \over 16a^{3}}-{bd \over 4a^{2}}+{e \over a},}$

若 ${\displaystyle \beta =0\,}$，求解 ${\displaystyle u^{4}+\alpha u^{2}+\gamma =0\,}$ 并代入 ${\displaystyle x=u-{b \over 4a}}$，求得根

${\displaystyle x=-{b \over 4a}\pm _{s}{\sqrt {-\alpha \pm _{t}{\sqrt {\alpha ^{2}-4\gamma }} \over 2}},\qquad \beta =0}$.

${\displaystyle P=-{\alpha ^{2} \over 12}-\gamma ,}$

${\displaystyle Q=-{\alpha ^{3} \over 108}+{\alpha \gamma \over 3}-{\beta ^{2} \over 8},}$

${\displaystyle R=-{Q \over 2}\pm {\sqrt {{Q^{2} \over 4}+{P^{3} \over 27}}},}$（平方根任一正负号均可）

${\displaystyle U={\sqrt[{3}]{R}},}$（有三个复根，任一个均可）

${\displaystyle y={\displaystyle -{5 \over 6}\alpha +{\begin{cases}U=0&\to -{\sqrt[{3}]{Q}}\\U\neq 0,&\to U-{P \over 3U},\end{cases}}\quad \quad \quad },}$

${\displaystyle x=-{b \over 4a}+{\pm _{s}{\sqrt {\alpha +2y}}\pm _{t}{\sqrt {-\left(3\alpha +2y\pm _{s}{2\beta \over {\sqrt {\alpha +2y}}}\right)}} \over 2}.}$

两个${\displaystyle \pm _{s}\,}$ 必须有相同的符号,${\displaystyle \pm _{t}\,}$ 的符号无关。为得到全部的根，对${\displaystyle \pm _{s}\,}$，${\displaystyle \pm _{t}\,}$ ,${\displaystyle =}$,${\displaystyle +\,}$,${\displaystyle +\,}$及 ${\displaystyle +-\,}$ 及 ${\displaystyle -+\,}$ 及 ${\displaystyle --\,}$ 来求${\displaystyle x\,}$。二重根将得出两次，三重根及四重根将得出四次（尽管有${\displaystyle \beta =0\,}$，是一种特殊的情况）。方程根的次序取决于立方根${\displaystyle U\,}$ 的选取。（见对${\displaystyle \left(8\right)\,}$相对${\displaystyle \left(8^{'}\right)\,}$的注）

此即所求。

还有解四次方程的其他方法，或许更好些。费拉里首先发现这些迷宫般的解之一。他所解的方程是

${\displaystyle x^{4}+6x^{2}-60x+36=0\,}$ ，

它已经化为简约的形式。它有一对解，可由上面给出的公式得到。

${\displaystyle (x-x_{1})(x-x_{2})(x-x_{3})(x-x_{4})=0\,}$

此四次方程是下列两个二次方程之积：

${\displaystyle (x-x_{1})(x-x_{2})=0\qquad \qquad (9)}$

以及

${\displaystyle (x-x_{3})(x-x_{4})=0.\qquad \qquad (10)}$

由于

${\displaystyle x_{2}=x_{1}^{\star }}$

因此

${\displaystyle {\begin{matrix}(x-x_{1})(x-x_{2})&=&x^{2}-(x_{1}+x_{1}^{\star })x+x_{1}x_{1}^{\star }\qquad \qquad \qquad \quad \\&=&x^{2}-2\,\mathrm {Re} (x_{1})x+[\mathrm {Re} (x_{1})]^{2}+[\mathrm {Im} (x_{1})]^{2}.\end{matrix}}}$

设

${\displaystyle a=-2\,\mathrm {Re} (x_{1}),}$

${\displaystyle b=[\mathrm {Re} (x_{1})]^{2}+[\mathrm {Im} (x_{1})]^{2}\,}$

则方程${\displaystyle \left(9\right)\,}$ 变为

${\displaystyle x^{2}+ax+b=0.\qquad \qquad (11)}$

同时有(未知的)变量${\displaystyle w\,}$和${\displaystyle v\,}$使方程${\displaystyle \left(10\right)\,}$ 变为

${\displaystyle x^{2}+wx+v=0.\qquad \qquad (12)}$

方程${\displaystyle \left(11\right)\,}$与${\displaystyle \left(12\right)\,}$ 相乘，得

${\displaystyle x^{4}+(a+w)x^{3}+(b+wa+v)x^{2}+(wb+va)x+vb=0.\qquad \qquad (13)}$

把方程${\displaystyle \left(13\right)\,}$ 与原来的二次方程比较，可知

${\displaystyle a+w={B \over A},}$

${\displaystyle b+wa+v={C \over A},}$

${\displaystyle wb+va={D \over A},}$

及

${\displaystyle vb={E \over A}.}$

因此

${\displaystyle w={B \over A}-a={B \over A}+2\mathrm {Re} (x_{1}),}$

${\displaystyle v={E \over Ab}={E \over A\left([\mathrm {Re} (x_{1})]^{2}+[\mathrm {Im} (x_{1})]^{2}\right)}.}$

方程${\displaystyle \left(12\right)\,}$的解为

${\displaystyle x_{3}={-w+{\sqrt {w^{2}-4v}} \over 2},}$

${\displaystyle x_{4}={-w-{\sqrt {w^{2}-4v}} \over 2}.}$

这两个解中的一个应是所求的实解。

一个例子可见双二次方程。

四次方程的求根公式可以通过上述的伽罗瓦理论和因式分解得到。[1]对于${\displaystyle {ax^{4}+bx^{3}+cx^{2}+dx+e=0,a\neq 0}}$，有：[2]

$${\displaystyle {x_{1}=-{\frac {b}{4a}}+{\frac {1}{2}}{\sqrt {\left({\frac {b}{2a}}\right)^{2}-{\frac {2c}{3a}}+{\frac {{\sqrt[{3}]{2}}(c^{2}-3bd+12ae)}{3a{\sqrt[{3}]{2c^{3}-9bcd+27ad^{2}+27b^{2}e-72ace+{\sqrt {(2c^{3}-9bcd+27ad^{2}+27b^{2}e-72ace)^{2}-4(c^{2}-3bd+12ae)^{3}}}}}}}+{\frac {\sqrt[{3}]{2c^{3}-9bcd+27ad^{2}+27b^{2}e-72ace+{\sqrt {(2c^{3}-9bcd+27ad^{2}+27b^{2}e-72ace)^{2}-4(c^{2}-3bd+12ae)^{3}}}}}{3{\sqrt[{3}]{2}}a}}}}-{\frac {1}{2}}{\sqrt {{\frac {b^{2}}{2a^{2}}}-{\frac {4c}{3a}}-{\frac {{\sqrt[{3}]{2}}(c^{2}-3bd+12ae)}{3a{\sqrt[{3}]{2c^{3}-9bcd+27ad^{2}+27b^{2}e-72ace+{\sqrt {(2c^{3}-9bcd+27ad^{2}+27b^{2}e-72ace)^{2}-4(c^{2}-3bd+12ae)^{3}}}}}}}-{\frac {\sqrt[{3}]{2c^{3}-9bcd+27ad^{2}+27b^{2}e-72ace+{\sqrt {(2c^{3}-9bcd+27ad^{2}+27b^{2}e-72ace)^{2}-4(c^{2}-3bd+12ae)^{3}}}}}{3{\sqrt[{3}]{2}}a}}+{\frac {-b^{3}+4abc-8a^{2}d}{4a^{3}{\sqrt {\left({\dfrac {b}{2a}}\right)^{2}-{\dfrac {2c}{3a}}+{\dfrac {{\sqrt[{3}]{2}}(c^{2}-3bd+12ae)}{3a{\sqrt[{3}]{2c^{3}-9bcd+27ad^{2}+27b^{2}e-72ace+{\sqrt {(2c^{3}-9bcd+27ad^{2}+27b^{2}e-72ace)^{2}-4(c^{2}-3bd+12ae)^{3}}}}}}}+{\dfrac {\sqrt[{3}]{2c^{3}-9bcd+27ad^{2}+27b^{2}e-72ace+{\sqrt {(2c^{3}-9bcd+27ad^{2}+27b^{2}e-72ace)^{2}-4(c^{2}-3bd+12ae)^{3}}}}}{3{\sqrt[{3}]{2}}a}}}}}}}}}}$$

$${\displaystyle {x_{2}=-{\frac {b}{4a}}+{\frac {1}{2}}{\sqrt {\left({\frac {b}{2a}}\right)^{2}-{\frac {2c}{3a}}+{\frac {{\sqrt[{3}]{2}}(c^{2}-3bd+12ae)}{3a{\sqrt[{3}]{2c^{3}-9bcd+27ad^{2}+27b^{2}e-72ace+{\sqrt {(2c^{3}-9bcd+27ad^{2}+27b^{2}e-72ace)^{2}-4(c^{2}-3bd+12ae)^{3}}}}}}}+{\frac {\sqrt[{3}]{2c^{3}-9bcd+27ad^{2}+27b^{2}e-72ace+{\sqrt {(2c^{3}-9bcd+27ad^{2}+27b^{2}e-72ace)^{2}-4(c^{2}-3bd+12ae)^{3}}}}}{3{\sqrt[{3}]{2}}a}}}}+{\frac {1}{2}}{\sqrt {{\frac {b^{2}}{2a^{2}}}-{\frac {4c}{3a}}-{\frac {{\sqrt[{3}]{2}}(c^{2}-3bd+12ae)}{3a{\sqrt[{3}]{2c^{3}-9bcd+27ad^{2}+27b^{2}e-72ace+{\sqrt {(2c^{3}-9bcd+27ad^{2}+27b^{2}e-72ace)^{2}-4(c^{2}-3bd+12ae)^{3}}}}}}}-{\frac {\sqrt[{3}]{2c^{3}-9bcd+27ad^{2}+27b^{2}e-72ace+{\sqrt {(2c^{3}-9bcd+27ad^{2}+27b^{2}e-72ace)^{2}-4(c^{2}-3bd+12ae)^{3}}}}}{3{\sqrt[{3}]{2}}a}}-{\frac {b^{3}-4abc+8a^{2}d}{4a^{3}{\sqrt {\left({\dfrac {b}{2a}}\right)^{2}-{\dfrac {2c}{3a}}+{\dfrac {{\sqrt[{3}]{2}}(c^{2}-3bd+12ae)}{3a{\sqrt[{3}]{2c^{3}-9bcd+27ad^{2}+27b^{2}e-72ace+{\sqrt {(2c^{3}-9bcd+27ad^{2}+27b^{2}e-72ace)^{2}-4(c^{2}-3bd+12ae)^{3}}}}}}}+{\dfrac {\sqrt[{3}]{2c^{3}-9bcd+27ad^{2}+27b^{2}e-72ace+{\sqrt {(2c^{3}-9bcd+27ad^{2}+27b^{2}e-72ace)^{2}-4(c^{2}-3bd+12ae)^{3}}}}}{3{\sqrt[{3}]{2}}a}}}}}}}}}}$$