四維矢量

給予兩個慣性參考系 ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$、 ${\displaystyle {\bar {\mathcal {S}}}}$ ；相對於參考系 ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$，參考系 ${\displaystyle {\bar {\mathcal {S}}}}$ 以速度 ${\displaystyle \mathbf {v} =v{\hat {\mathbf {x} }}}$ 移動。對於這兩個參考系，相關的「勞侖茲變換矩陣」 ${\displaystyle \Lambda ^{\mu }{}_{\nu }}$ 是

${\displaystyle \Lambda ^{\mu }{}_{\nu }=\ \left({\begin{matrix}\gamma &-\gamma \beta &0&0\\-\gamma \beta &\gamma &0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{matrix}}\right)}$；

其中，${\displaystyle \gamma ={\cfrac {1}{\sqrt {1-\left({\frac {v}{c}}\right)^{2}}}}}$ 是勞侖茲因子，${\displaystyle \beta ={\frac {v}{c}}}$是「貝塔因子」。

對於這兩個參考系 ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$、 ${\displaystyle {\bar {\mathcal {S}}}}$ ，假設一個事件的四維坐標分別為 ${\displaystyle {x}^{\mu }}$、 ${\displaystyle {\bar {x}}^{\mu }}$ 。那麼，這兩個四維坐標之間的關係為

${\displaystyle {\bar {x}}^{\mu }=\Lambda ^{\mu }{}_{\nu }\ x^{\nu }}$ 、

${\displaystyle x^{\mu }={\bar {\Lambda }}^{\mu }{}_{\nu }\ {\bar {x}}^{\nu }}$ ；

其中，${\displaystyle {\bar {\Lambda }}^{\mu }{}_{\nu }}$ 是 ${\displaystyle \Lambda ^{\mu }{}_{\nu }}$ 的反矩阵，

${\displaystyle {\bar {\Lambda }}^{\mu }{}_{\nu }=\ \left({\begin{matrix}\gamma &\gamma \beta &0&0\\\gamma \beta &\gamma &0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{matrix}}\right)}$ 。

將這兩個四維坐標之間的關係式合併為一，則可得到

${\displaystyle {\bar {x}}^{\mu }=\Lambda ^{\mu }{}_{\nu }\ x^{\nu }=\Lambda ^{\mu }{}_{\nu }\ {\bar {\Lambda }}^{\nu }{}_{\xi }\ {\bar {x}}^{\xi }}$ 。

因此，可以找到勞侖茲變換矩陣的一個特性：

${\displaystyle \Lambda ^{\mu }{}_{\nu }\ {\bar {\Lambda }}^{\nu }{}_{\xi }=\delta ^{\mu }{}_{\xi }}$ ；

其中，${\displaystyle \delta ^{\mu }{}_{\xi }}$ 是克羅內克函數。

另外一個很有用的特性為

${\displaystyle {\bar {\Lambda }}^{\mu }{}_{\nu }=\eta _{\alpha \nu }\ \eta ^{\beta \mu }\ \Lambda ^{\alpha }{}_{\beta }}$ ；

給定一個事件在某慣性參考系的四維坐標，通過勞侖茲變換，就可計算出這事件在另外一個慣性參考系的四維坐標。這是個很有用的物理性質。當研究物理現象時，所涉及的四維向量，最好都能夠具有這有用的性質。這樣，可以使得數學分析更加精緻犀利。以方程式表示，對於兩個參考系 ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$、 ${\displaystyle {\bar {\mathcal {S}}}}$，具有這種有用性質的四維向量 ${\displaystyle {U}^{\mu }}$ 、${\displaystyle {\bar {U}}^{\mu }}$ 滿足

${\displaystyle {\bar {U}}^{\mu }=\Lambda ^{\mu }{}_{\nu }\ U^{\nu }}$ 、

${\displaystyle U^{\mu }={\bar {\Lambda }}^{\mu }{}_{\nu }\ {\bar {U}}^{\nu }}$ 。

在計算這四維向量對於時間的導數時，若能選擇固有時為時間變數，則求得的四維向量仍舊具有這有用的性質。因為，固有時乃是個不變量；改變慣性參考系不會改變不變量。

假設一個物體運動於閔考斯基時空。在「實驗室參考系」裡，物體運動的速度隨著時間改變。對於每瞬時刻，選擇與物體同樣運動的慣性參考系，稱為「瞬間共動參考系」（momentarily comoving reference frame）。在這瞬間共動參考系裡，物體的速度為零，因此，這參考系也是物體的「瞬間靜止參考系」。隨著物體不斷地改變運動速度與方向，新的慣性參考系也會不斷地改換為瞬間共動參考系。[1]^:41-42隨著這些不斷改換的瞬間同行坐標系所測得的時間即為固有時，標記為 ${\displaystyle \tau }$ 。這就好像給物體掛戴一隻手錶，隨著物體的運動，手錶也會做同樣的運動，而手錶所紀錄的時間就是固有時。

這物體的運動可以用一條世界線 ${\displaystyle x(\tau )}$ 來描述。由於時間膨脹，發生於物體的兩個本地事件的微小固有時間隔 ${\displaystyle \Delta \tau }$ 與從別的慣性參考系 ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$ 所觀測到的微小時間間隔 ${\displaystyle \Delta t}$ 的關係為

${\displaystyle \Delta t=\gamma \Delta \tau }$ 。

所以，固有時 ${\displaystyle \tau }$ 對於其它時間 ${\displaystyle t}$ 的導數為

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} \tau }{\mathrm {d} t}}={\frac {1}{\gamma }}}$ 。

在閔考斯基空間裡，兩個四維向量 ${\displaystyle U^{\mu }}$ 與 ${\displaystyle V_{\mu }}$ 的內積，稱為閔考斯基內積，以方程式表示為：

${\displaystyle U^{\mu }V_{\mu }\ {\stackrel {def}{=}}\ U^{0}V^{0}-U^{1}V^{1}-U^{2}V^{2}-U^{3}V^{3}}$ 。

由於這內積並不具正定性，即

${\displaystyle U^{\mu }U_{\mu }=(U^{0})^{2}-(U^{1})^{2}-(U^{2})^{2}-(U^{3})^{2}}$

可能會是負數；而歐幾里得內積一定不是負數。

許多學者喜歡使用相反正負號的 ${\displaystyle \eta }$：

${\displaystyle \eta _{\mu \nu }\ {\stackrel {def}{=}}\ \left({\begin{matrix}-1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{matrix}}\right)}$ 。

這樣，${\displaystyle U^{\mu }}$ 與 ${\displaystyle V_{\mu }}$ 的內積改變為

${\displaystyle U^{\mu }V_{\mu }=-U^{0}V^{0}+U^{1}V^{1}+U^{2}V^{2}+U^{3}V^{3}}$ 。

其它相聯的量值也會因而改變正負號，但這不會改變系統的物理性質。

從參考系 ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$ 改換至另一參考系 ${\displaystyle {\overline {\mathcal {S}}}}$ ，${\displaystyle U^{\mu }}$ 與 ${\displaystyle V_{\mu }}$ 的內積為

${\displaystyle {U}^{\mu }{V}_{\mu }={\overline {\Lambda }}^{\mu }{}_{\alpha }\ {\overline {U}}^{\alpha }\ \eta _{\mu \beta }{V}^{\beta }={\overline {\Lambda }}^{\mu }{}_{\alpha }\ {\overline {U}}^{\alpha }\ \eta _{\mu \beta }\ {\overline {\Lambda }}^{\beta }{}_{\xi }\ {\overline {V}}^{\xi }={\overline {\Lambda }}^{\mu }{}_{\alpha }\ {\overline {U}}^{\alpha }\ \eta _{\mu \beta }\ {\overline {\Lambda }}^{\beta }{}_{\xi }\ \eta ^{\xi \zeta }\ {\overline {V}}_{\zeta }={\overline {\Lambda }}^{\mu }{}_{\alpha }\ {\overline {U}}^{\alpha }\ {\overline {\Lambda }}^{\zeta }{}_{\mu }\ {\overline {V}}_{\zeta }=\delta ^{\zeta }{}_{\alpha }\ {\overline {U}}^{\alpha }\ {\overline {V}}_{\zeta }={\overline {U}}^{\alpha }{\overline {V}}_{\alpha }}$ 。

所以，在閔考斯基時空內，兩個四維向量的內積是個不變量：[1]^:44-46

${\displaystyle U^{\mu }V_{\mu }={\overline {U}}^{\mu }{\overline {V}}_{\mu }}$ 。

四維向量可以分類為類時，類空，或類光（零矢量）：

類時矢量：${\displaystyle U^{\mu }U_{\mu }>0}$ ，

類空矢量：${\displaystyle U^{\mu }U_{\mu }<0}$ ，

類光矢量：${\displaystyle U^{\mu }U_{\mu }=0}$ 。

設想一個物體運動於閔考斯基時空，則其世界線的任意事件 ${\displaystyle x^{\mu }(\tau )}$ 的四維速度 ${\displaystyle U^{\mu }}$ 定義為[1]^:46-48

${\displaystyle U^{\mu }\ {\stackrel {def}{=}}\ {\frac {\mathrm {d} x^{\mu }}{\mathrm {d} \tau }}={\frac {\mathrm {d} t}{\mathrm {d} \tau }}\ {\frac {\mathrm {d} x^{\mu }}{\mathrm {d} t}}=\left(\gamma c,\ \gamma \mathbf {u} \right)}$ ；

其中，${\displaystyle \mathbf {u} =\left({\frac {\mathrm {d} x^{1}}{\mathrm {d} t}},\,{\frac {\mathrm {d} x^{2}}{\mathrm {d} t}},\,{\frac {\mathrm {d} x^{3}}{\mathrm {d} t}}\right)}$ 是三維速度，或經典速度矢量。

${\displaystyle U^{\mu }}$ 的空間部分與經典速度 ${\displaystyle \mathbf {u} }$ 的關係為

${\displaystyle \left(U^{1},\,U^{2},\,U^{3}\right)=\gamma \mathbf {u} }$ 。

四維速度與自己的內積等於光速平方，是一個不變量：

${\displaystyle U^{\mu }U_{\mu }=c^{2}}$ 。

在物體的瞬間共動參考系裡，物體的速度為零，因此，四維速度為

${\displaystyle \left(c,0,0,0\right)_{MCRF}}$ ，

其方向與瞬間共動參考系的第零個基底向量 ${\displaystyle {\hat {\mathbf {e} }}_{0}=\left(1,0,0,0\right)_{MCRF}}$ 同向；

其中，${\displaystyle MCRF}$ 表示從瞬間共動參考系觀察得到的數據。

四維加速度 ${\displaystyle \alpha ^{\mu }}$ 定義為 [1]^:46-48

${\displaystyle \alpha ^{\mu }\ {\stackrel {def}{=}}\ {\frac {\mathrm {d} U^{\mu }}{\mathrm {d} \tau }}=\left(\gamma {\dot {\gamma }}c,\,\gamma {\dot {\gamma }}\mathbf {u} +\gamma ^{2}{\dot {\mathbf {u} }}\right)}$ 。

經過一番運算，可以得到勞侖茲因子對於時間的導數：

${\displaystyle {\dot {\gamma }}={\frac {\mathrm {d} \gamma }{\mathrm {d} t}}=\gamma ^{3}(\mathbf {u} \cdot \mathbf {a} )/c^{2}}$ ；

其中，${\displaystyle \mathbf {a} ={\frac {\mathrm {d} \mathbf {u} }{\mathrm {d} t}}}$ 是經典加速度。

所以，四維加速度 ${\displaystyle \alpha ^{\mu }}$ 可以表示為

${\displaystyle \alpha ^{\mu }=\left(\gamma ^{4}(\mathbf {u} \cdot \mathbf {a} )/c,\,\gamma ^{2}\mathbf {a} +\gamma ^{4}(\mathbf {u} \cdot \mathbf {a} )\mathbf {u} /c^{2}\right)}$ 。

由於 ${\displaystyle U_{\mu }U^{\mu }}$ 是個常數，四維加速度與四維速度相互正交；也就是說，四維速度與四維加速度的閔考斯基內積等於零：

${\displaystyle \alpha _{\mu }U^{\mu }={\frac {1}{2}}{\frac {\mathrm {d} (U_{\mu }U^{\mu })}{\mathrm {d} \tau }}=0}$ 。

對於每一條世界線，這計算結果都成立。

注意到在瞬間共動參考系裡， ${\displaystyle U_{\mu }}$ 只有時間分量不等於零，所以， ${\displaystyle \alpha ^{\mu }}$ 為的時間分量為零：

${\displaystyle \alpha ^{\mu }=\left(0,\,\gamma ^{2}\mathbf {a} \right)_{MCRF}}$ 。

一個靜止質量為 ${\displaystyle m}$ 的粒子的四維動量 ${\displaystyle P^{\mu }}$ 定義為

${\displaystyle P^{\mu }\ {\stackrel {def}{=}}\ mU^{\mu }=\left(\gamma mc,\,\gamma m\mathbf {u} \right)}$ 。

經典動量 ${\displaystyle \mathbf {p} }$ 定義為

${\displaystyle \mathbf {p} \ {\stackrel {def}{=}}\ m_{rel}\mathbf {u} =\gamma m\mathbf {u} }$ ；

其中，${\displaystyle m_{rel}}$ 是相對論性質量。

所以，${\displaystyle P^{\mu }}$ 的空間部分等於經典動量 ${\displaystyle \mathbf {p} }$ ：

${\displaystyle \left(P^{1},\,P^{2},\,P^{3}\right)=\mathbf {p} }$。

作用於粒子的四維力定義為粒子的四維動量對於固有時的導數：

${\displaystyle F^{\mu }\ {\stackrel {def}{=}}\ {\frac {\mathrm {d} P^{\mu }}{\mathrm {d} \tau }}}$。

提出四維動量內的靜止質量因子，即可發覺四維力就是靜止質量乘以四維加速度：

${\displaystyle F^{\mu }=m{\frac {\mathrm {d} U^{\mu }}{\mathrm {d} \tau }}=m\alpha ^{\mu }}$ 。

因此，四維力可以表示為

${\displaystyle F^{\mu }=m\left(\gamma ^{4}(\mathbf {u} \cdot \mathbf {a} )/c,\,\gamma ^{2}\mathbf {a} +\gamma ^{4}(\mathbf {u} \cdot \mathbf {a} )\mathbf {u} /c^{2}\right)}$ 。

經典力 ${\displaystyle \mathbf {f} }$ 定義為

${\displaystyle \mathbf {f} \ {\stackrel {def}{=}}\ {\frac {\mathrm {d} \mathbf {p} }{\mathrm {d} t}}}$ 。

所以，${\displaystyle F^{\mu }}$的空間部分等於 ${\displaystyle \gamma \mathbf {f} }$ ：

${\displaystyle \left(F^{1},\,F^{2},\,F^{3}\right)=\gamma \mathbf {f} }$ 。

假設，在微小時間間隔 ${\displaystyle \mathrm {d} t}$ ，一個運動於時空的粒子，感受到作用力 ${\displaystyle \mathbf {f} }$ 的施加，而這粒子的微小位移為 ${\displaystyle \mathrm {d} \mathbf {x} }$ 。那麼，作用力 ${\displaystyle \mathbf {f} }$ 對於這粒子所做的微小機械功 ${\displaystyle \mathrm {d} W}$ 為

${\displaystyle \mathrm {d} W=\mathbf {f} \cdot \mathrm {d} \mathbf {x} }$ 。

因此，這粒子的動能的改變 ${\displaystyle \mathrm {d} K}$ 為

${\displaystyle \mathrm {d} K=\mathrm {d} W=\mathbf {f} \cdot \mathrm {d} \mathbf {x} }$ 。

粒子的動能 ${\displaystyle K}$ 對於時間的導數為

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} K}{\mathrm {d} t}}=\mathbf {f} \cdot {\frac {\mathrm {d} \mathbf {x} }{\mathrm {d} t}}=\mathbf {f} \cdot \mathbf {u} }$ 。

將前面經典力和經典速度的公式帶入，可以得到

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} K}{\mathrm {d} t}}=m\gamma ^{3}(\mathbf {u} \cdot \mathbf {a} )=mc^{2}{\frac {\mathrm {d} \gamma }{\mathrm {d} t}}}$ 。

這公式的反微分為

${\displaystyle K=\gamma mc^{2}+K_{0}}$ 。

當粒子靜止時，動能等於零。所以，

${\displaystyle K=\gamma mc^{2}-mc^{2}}$ 。

這公式的右手邊第二個項目就是靜止能量 ${\displaystyle E_{0}\ {\stackrel {def}{=}}\ mc^{2}}$ 。動能 ${\displaystyle K}$ 加上靜止能量 ${\displaystyle E_{0}}$ 等於總能量 ${\displaystyle E}$ ：

${\displaystyle E=\gamma mc^{2}}$ 。

再加簡化，以相對論性質量 ${\displaystyle m_{rel}}$ 表示：

${\displaystyle E=m_{rel}c^{2}}$ 。

這方程式稱為質能方程式。

使用質能方程式 ${\displaystyle E=m_{rel}c^{2}=\gamma mc^{2}}$ ，四維動量可以表示為

${\displaystyle P^{\mu }=\left({\frac {E}{c}},\,\mathbf {p} \right)}$ 。

四維動量與自己的內積為

${\displaystyle P^{\mu }P_{\mu }={\frac {E^{2}}{c^{2}}}-(p)^{2}}$ 。

改以四維速度來計算內積：

${\displaystyle P^{\mu }P_{\mu }=m^{2}U^{\mu }U_{\mu }=m^{2}c^{2}}$ 。

所以，能量-動量關係式為

${\displaystyle E^{2}=(pc)^{2}+m^{2}c^{4}}$ 。

在電磁學裏，四維電流密度 ${\displaystyle J^{\mu }}$ 是一個四維向量，定義為

${\displaystyle J^{\mu }\ {\stackrel {def}{=}}\ (\rho c,\,\mathbf {j} )}$ ；

其中，${\displaystyle \rho }$ 是電荷密度，${\displaystyle \mathbf {j} }$ 是三維電流密度。

在瞬間共動參考系所觀測到的電荷密度，稱為固有電荷密度 ${\displaystyle \rho _{0}=\rho /\gamma }$ 。四維電流密度與四維速度的關係為

${\displaystyle J^{\mu }=\rho _{0}U^{\mu }}$ 。

電荷守恆定律能以三維矢量表示為

${\displaystyle {\frac {\partial \rho }{\partial t}}+\nabla \cdot \mathbf {j} =0}$ 。

這定律也能以四維電流密度表示為

${\displaystyle {\frac {\partial J^{\mu }}{\partial x^{\mu }}}=0}$ 。

從這方程式，可以推論四維電流密度的四維散度等於零。

電磁四維勢是由電勢 ${\displaystyle \phi \,}$ 與矢量勢 ${\displaystyle \mathbf {A} }$ 共同形成的，定義為

${\displaystyle A^{\mu }\ {\stackrel {def}{=}}\ (\phi /c,\,\mathbf {A} )}$ 。

黎曼-索末菲方程式表示電磁四維勢與四維電流密度之間的關係[2]：

${\displaystyle \Box A^{\mu }=\mu _{0}J^{\mu }}$ ;

其中，${\displaystyle \mu _{0}}$ 是磁常數，${\displaystyle \Box =\partial ^{2}=\partial _{\alpha }\partial ^{\alpha }=\left({\frac {1}{c^{2}}}\ {\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}-\nabla ^{2}\right)}$ 是達朗貝爾算符，又稱為四維拉普拉斯算符。

一個平面電磁波的四維頻率 ${\displaystyle {\nu }^{\mu }}$ 定義為

${\displaystyle {\nu }^{\alpha }\ {\stackrel {def}{=}}\ (f,\,f\mathbf {n} )}$ ；

其中，${\displaystyle f}$ 是電磁波的頻率，${\displaystyle \mathbf {n} }$ 是朝著電磁波傳播方向的單位矢量。

四維頻率與自己的內積永遠等於零：

${\displaystyle {\nu }^{\alpha }{\nu }_{\alpha }=(f)^{2}(1-n^{2})=0}$ 。

一個近單色光的波包的波動性質可以用四維波矢量 ${\displaystyle {K}^{\alpha }}$ 來描述：

${\displaystyle {K}^{\alpha }\ {\stackrel {def}{=}}\ \left({\frac {2\pi f}{c}},\,\mathbf {k} \right)}$ 。

其中，${\displaystyle \mathbf {k} }$ 是三維波矢量。

四維波矢量與四維頻率之間的關係為

${\displaystyle {K}^{\alpha }={\frac {2\pi {\nu }^{\alpha }}{c}}}$ 。