圆台

圆台的体积取决于两底面之间的距离（圆台的高），以及原来圆锥的体积。设${\displaystyle h}$為圆台的高，${\displaystyle r}$和${\displaystyle R}$為棱台的上下底面半径，${\displaystyle V}$ 為圆台的体积。由于圆台是由一个平面截去圆锥的一部分（也就是和原来圆锥相似的一个小圆锥）得到，所以计算体积的时候，可以先算出原来圆锥的体积，再减去和它相似的小圆锥的体积。圆锥被平行于底面的平面所截时，截面圆的半径与底面半径的比，等于小圆锥和原圆锥的高的比。假设原圆锥的高是${\displaystyle H}$，那么小圆锥的高是${\displaystyle H-h}$。也就是说：

${\displaystyle {\frac {H-h}{H}}={\frac {r}{R}}.}$

所以：

${\displaystyle H={\frac {hR}{R-r}}}$

圆台的体积等于原圆锥体积减去小圆锥的体积：

${\displaystyle V={\frac {\pi R^{2}H}{3}}-{\frac {\pi r^{2}(H-h)}{3}}={\frac {\pi (R^{2}-r^{2})Rh}{3(R-r)}}+{\frac {\pi hr^{2}}{3}}={\frac {\pi h}{3}}\left(R^{2}+r^{2}+Rr\right)}$

《九章算術》記載的圓台體積公式：「上下周相乘，又各自乘，并之，以高乘之，三十六而一。」这是将圆周率的值取为3得到的。

圆台的侧面展开图是一个“扇面形”，也就是两个同心扇形的差。展开图的面积，就是两个扇形的面积差，其中${\displaystyle l}$是圆台的母线长度：

${\displaystyle S_{c}=\pi RL-\pi r(L-l)=\pi (R+r)l}$

圆台的表面积S_t等于圆台的侧面积S_c加上两底的面积S_u、S_d。

${\displaystyle S_{t}=S_{c}+S_{u}+S_{d}=\pi \left[R^{2}+r^{2}+(R+r)l\right].}$