埃奇沃斯級數

Gram-Charlier A series 的主要想法，是把待逼近分布（以F 為它的密度函數）的特徵方程，寫成另一個已知分布的特徵方程的展式，再經過傅立葉變換的逆變換，就可以求得F 的展式。

假設f 是待逼近分布的特徵方程，${\displaystyle \kappa _{r}}$是這個分布的 累积量。現在將它展成和另一個已知分布相關的級數。該已知分布的密度函數為 ${\displaystyle \Psi }$，特徵函数為 ${\displaystyle \psi }$，累积量 為 ${\displaystyle \gamma _{r}}$。常見的作法是選用正态分布作為已知分布，但事實上選用其它的分布函數也是可行的。由累积量的定義，下列這個等式是恆成立的：

${\displaystyle f(t)=\exp \left[\sum _{r=1}^{\infty }(\kappa _{r}-\gamma _{r}){\frac {(it)^{r}}{r!}}\right]\psi (t)\,.}$

由傅立葉變換的性質，(it)^rψ(t) 是 (−1)^r D^r ${\displaystyle \Psi }$(x) 的傅立葉變換，其中 D 代對 x 的微分算子。這樣我們就得到 F 的一個級數

${\displaystyle F(x)=\exp \left[\sum _{r=1}^{\infty }(\kappa _{r}-\gamma _{r}){\frac {(-D)^{r}}{r!}}\right]\Psi (x)\,.}$

如果令 ${\displaystyle \Psi }$ 為正态分布的密度函數且其期望值和方差与分布 F相同，也就是說，期望值 μ = κ₁，變異數 σ² = κ₂，則此展式變成

${\displaystyle F(x)=\exp \left[\sum _{r=3}^{\infty }\kappa _{r}{\frac {(-D)^{r}}{r!}}\right]{\frac {1}{{\sqrt {2\pi }}\sigma }}\exp \left[-{\frac {(x-\mu )^{2}}{2\sigma ^{2}}}\right]\,.}$

再將指數函數展開並按微分階數逐項列出，就得到 Gram-Charlier A series。例如，選用正態分布做為已知分布，展到前兩項就可以得到

${\displaystyle F(x)={\frac {1}{{\sqrt {2\pi }}\sigma }}\exp \left[-{\frac {(x-\mu )^{2}}{2\sigma ^{2}}}\right]\left[1+{\frac {\kappa _{3}}{3!\sigma ^{3}}}H_{3}\left({\frac {x-\mu }{\sigma }}\right)+{\frac {\kappa _{4}}{4!\sigma ^{4}}}H_{4}\left({\frac {x-\mu }{\sigma }}\right)\right]\,,}$

其中 H₃(x) = x³ − 3x；H₄(x) = x⁴ − 6x² + 3 （即埃爾米特多項式）

注意到以上的 series 並不保證函数值恆正，所以事实上並不一定是一個密度函數。在許多情況下，Gram-Charlier A series 會發散—仅當 x 趨近無限大時 F(x) 遞降的比 exp(−x²/4) 快時它才會收斂 (Cramér 1957)。當它不收斂時，這不是一個真正的漸近展式，因為要估計這個展式的誤差是不可能的。因此，一般的情況埃奇沃斯級數（見下一節）比 Gram-Charlier A series 更常用。