多普勒测量

在相对论框架下，多普勒效应可表达成如下形式：[2]^:183

${\displaystyle {\frac {f_{r}}{f_{s}}}={\frac {1-v/c\cdot \cos \theta }{\sqrt {1-(v/c)^{2}}}}}$

其中，各个量所代表的含义为

• ${\displaystyle f_{r}}$ 是电磁波的接收频率
• ${\displaystyle f_{s}}$ 是电磁波的发射频率
• ${\displaystyle v}$ 是发射者 ${\displaystyle S}$ 相对于接收者 ${\displaystyle P}$ 的速度
• ${\displaystyle \theta }$ 是该速度方向相对于 ${\displaystyle {\begin{smallmatrix}{\vec {SP}}\end{smallmatrix}}}$ 方向的夹角
• ${\displaystyle c}$ 是光速

两者间距离 ${\displaystyle r}$ 随时间 ${\displaystyle t}$ 的变化率 ${\displaystyle {\dot {r}}}$ 与该相对速度之间的关系为：

${\displaystyle {\dot {r}}={\operatorname {d} \!r \over \operatorname {d} \!t}=-v\cdot \cos \theta }$

因而，将多普勒效应的表达式进行级数展开：

${\displaystyle f_{r}=f_{s}\left(1-{\frac {\dot {r}}{c}}\right)\left(1+{\frac {v^{2}}{2c^{2}}}+{\frac {3v^{4}}{8c^{4}}}+\cdots \right)}$

当接收者与发送者的相对速度远小于光速（即 ${\displaystyle {\frac {v}{c}}\ll 1}$）时，仅保留级数的最大项，得到

${\displaystyle f_{r}=f_{s}\left(1-{\frac {\dot {r}}{c}}\right)}$

得到的发射频率 ${\displaystyle f_{s}}$ 与接收频率 ${\displaystyle f_{r}}$ 之差被称为多普勒频移（英語：）：[1]^:273

${\displaystyle \Delta f=f_{s}-f_{r}={\frac {\dot {r}}{c}}f_{s}}$

在除去多普勒频移后，级数中的剩余项被称为横向多普勒效应（英語：）：[2]^:184

${\displaystyle \Delta _{R}={\frac {v^{2}}{2c^{2}}}+{\frac {3v^{4}}{8c^{4}}}+\cdots }$

横向多普勒效应发生在与发射者与接收者的连线${\displaystyle {\begin{smallmatrix}{\vec {SP}}\end{smallmatrix}}}$ 相垂直的方向上，高精度的测量需要考虑对该效应进行改正。

在发射者与接收者之间设定一相同的基准频率 ${\displaystyle f_{g}}$，当两者间存在多普勒效应时，接收方可以通过混频的方式求得拍频信号 ${\displaystyle f_{g}-f_{r}}$。将该差频信号在时域 ${\displaystyle T}$ 上进行积分：[2]^:184

${\displaystyle N_{jk}=\int _{T_{j}}^{T_{k}}(f_{g}-f_{r})\operatorname {d} \!T}$

得到的 ${\displaystyle N_{jk}}$ 被称为积分多普勒计数（英語：），${\displaystyle T_{j}}$ 和 ${\displaystyle T_{k}}$ 分别表示积分开始和结束的时间。

将多普勒频移的公式代入多普勒计数的公式中，可以将多普勒计数转换为积分起始时刻两者的距离差 ${\displaystyle r_{k}-r_{j}}$ ，即[1]^:274

${\displaystyle N_{jk}=\int _{T_{j}}^{T_{k}}{\frac {f_{g}}{c}}{\dot {r}}\operatorname {d} \!T={\frac {f_{g}}{c}}(r_{k}-r_{j})}$

这一测量方式又被称为距离差测量。然而在实际应用中，计数器通常不能判别 ${\displaystyle N_{jk}}$ 的符号，距离差 ${\displaystyle r_{k}-r_{j}}$ 的符号亦无法判别。因此，通常会人为地提高接收者所产生的信号频率至 ${\displaystyle f_{0}}$，以保证 ${\displaystyle f_{0}>f_{r}}$ 恒成立，此时上式变为[1]^:274

${\displaystyle N_{jk}=\int _{T_{j}}^{T_{k}}(f_{0}-f_{r})\operatorname {d} \!T=\int _{T_{j}}^{T_{k}}(f_{0}-f_{g})\operatorname {d} \!T+\int _{T_{j}}^{T_{k}}(f_{g}-f_{r})\operatorname {d} \!T=(f_{0}-f_{g})(T_{k}-T_{j})+{\frac {f_{g}}{c}}(r_{k}-r_{j})}$

积分起始时刻两者的距离差 ${\displaystyle r_{k}-r_{j}}$ 则写作

${\displaystyle r_{k}-r_{j}={\frac {c}{f_{g}}}\cdot \left[N_{jk}-(f_{0}-f_{g})(T_{k}-T_{j})\right]}$