多維度變換

其中一個常用的多維度變換就是傅立葉變換，是將一個訊號的表示式從時域/空域轉換到頻域。[1]離散域的多維度傅立葉變換可表示成下列式子：

${\displaystyle F(w_{1},w_{2},\dots ,w_{m})=\sum _{n_{1}=-\infty }^{\infty }\sum _{n_{2}=-\infty }^{\infty }\cdots \sum _{n_{m}=-\infty }^{\infty }f(n_{1},n_{2},\dots ,n_{m})e^{-jw_{1}n_{1}-jw_{2}n_{2}\cdots -jw_{m}n_{m}}}$

其中F代表多維度傅立葉變換，m代表維度。將f定義成多維度的離散域訊號，則逆多維度傅立葉變換為：

${\displaystyle f(n_{1},n_{2},\dots ,n_{m})=\left({\frac {1}{2\pi }}\right)^{m}\int _{-\pi }^{\pi }\cdots \int _{-\pi }^{\pi }F(w_{1},w_{2},\ldots ,w_{m})e^{jw_{1}n_{1}+jw_{2}n_{2}+\cdots +jw_{m}n_{m}}\,dw_{1}\cdots \,dw_{m}}$

連續域的多維度傅立葉變換可表示成下列式子：[1]

${\displaystyle F(\Omega _{1},\Omega _{2},\ldots ,\Omega _{m})=\int _{-\infty }^{\infty }\cdots \int _{-\infty }^{\infty }f(t_{1},t_{2},\ldots ,t_{m})e^{-j\Omega _{1}t_{1}-j\Omega _{2}t_{2}\cdots -j\Omega _{m}t_{m}}\,dt_{1}\cdots \,dt_{m}}$

快速傅立葉變換(FFT)是一種用來計算離散傅立葉變換(DFT)和其逆變換的快速演算法，快速傅立葉變換所得到的結果跟按照定義去算離散傅立葉變換的結果是一樣的，但唯一的差別是快速傅立葉變換的速度快很多。（在捨入誤差的存在下，很多快速傅立葉變換還比直接照定義算還更精準。）有很多種快速傅立葉變換，他們包含很廣泛的數學運算，從簡單的複數運算到數論和群論，詳情可以看快速傅立葉變換。

多維度的離散傅立葉變換是離散域傅立葉變換的簡單版本，其方法是在均勻間隔下的樣本頻率去估計其值。[2] N₁ × N₂ × ... N_M離散傅立葉變換如下式：

${\displaystyle Fx(K_{1},K_{2},\ldots ,K_{n})=\sum _{n_{1}=0}^{N_{1}-1}\cdots \sum _{n_{m}}^{N_{m}-1}fx(n_{1},n_{2},\ldots ,n_{N})e^{-j{\frac {2\pi }{N_{1}}}n_{1}K_{1}-j{\frac {2\pi }{N_{2}}}n_{2}K_{2}\cdots -j{\frac {2\pi }{N_{m}}}n_{m}K_{m}}}$

其中0 ≤ K_i ≤ N_i − 1, i = 1, 2, ..., m。

多维度离散傅里叶变换对应的逆变换是：

${\displaystyle fx(n_{1},n_{2},\ldots ,n_{m})={\frac {1}{N_{1}\cdots N_{m}}}\sum _{K_{1}=0}^{N_{1}-1}\cdots \sum _{K_{m}}^{N_{m}-1}Fx(K_{1},K_{2},\ldots ,K_{m})e^{j{\frac {2\pi }{N_{1}}}n_{1}K_{1}+j{\frac {2\pi }{N_{2}}}n_{2}K_{2}\cdots +j{\frac {2\pi }{N_{m}}}n_{m}K_{m}}}$

其中0 ≤ n₁, n₂, ... , n_m ≤ N_{(1, 2, ... , m)} – 1。

離散餘弦變換被廣泛的應用，像是資料壓縮、特徵萃取、影像重建等等。多維度離散餘弦變換為：

${\displaystyle Fx(K_{1},K_{2},\ldots ,K_{r})=\sum _{n_{1}=0}^{N_{1}-1}\sum _{n_{2}=0}^{N_{2}-1}\cdots \sum _{n_{r}=0}^{N_{r}-1}fx(n_{1},n_{2},\ldots ,n_{r})\cos {\frac {\pi (2n_{1}+1)K_{1}}{2N_{1}}}\cdots \cos {\frac {\pi (2n_{r}+1)K_{r}}{2N_{r}}}}$

其中 k_i = 0, 1, ..., N_i − 1, i = 1, 2, ..., r.

離散傅立葉變換和離散餘弦變換常常被使用在訊號處理[3]和影像處理，也常被用來當作解偏微分方程式時更有效率的方法。離散傅立葉變換也可用在運算摺積或是乘上很大的整數。下列只列出一些例子。

影像處理

在JPEG DCT中的二維度離散餘弦變換頻率

離散餘弦變換被用在 JPEG 影像壓縮、MJPEG、MPEG、DV和 Theora影片壓縮上。壓縮時使用NxN'格的二維的離散餘弦變換(DCT-II)然後再被量化且用熵編碼法編碼，通常N為8，而DCT-II的運算就用在該格的每一行和每一排，結果會生成8x8的變換係數矩陣，其中(0,0)(左上角)的值是直流分量(頻率為0)，隨著水平或垂直的編號增加，代表水平或垂直的空間頻率增加，如右圖所示。

在影像處理方面，利用二維的離散餘弦變換可以分析並且描述非常規的圖形加密方法，像是在二維圖像平面中插入非可見的二進位制水印。[4]利用不同的方向，DCT-DWT混雜的轉換也可以用來去除超音波影像的雜訊。[5]三維的離散餘弦變換可以被用來轉換在使用水印影像遷入的影片資料或是三維影像資料。[6][7]

• 離散餘弦變換