多重指标

多重指標可以將單變元微積分的許多結果直接推廣到多變元。以下是幾個例子：

多元冪級數：有兩個以上變元的冪級數通常寫成

${\displaystyle s(\mathbf {x} )=\sum _{I}a_{I}\mathbf {x} ^{I}}$

其中${\displaystyle I}$是${\displaystyle n}$-維多元指標而${\displaystyle \mathbf {x} =(x_{1},\ldots ,x_{n})}$，以簡化冗長的表法

${\displaystyle s(x_{1},\ldots ,x_{n})=\sum _{i_{1},\ldots ,i_{n}}a_{i_{1}\ldots i_{n}}x_{1}^{i_{1}}\cdots x_{n}^{i_{n}}}$

多項展開

${\displaystyle \left(\sum _{i=1}^{n}{x_{i}}\right)^{k}=\sum _{|\alpha |=k}^{}{{\frac {k!}{\alpha$ !}}\,\mathbf {x} ^{\alpha }}}

萊布尼茨公式：設${\displaystyle u,v}$存在夠高階的導數，則

${\displaystyle D^{\alpha }(uv)=\sum _{\nu \leq \alpha }^{}{{\alpha \choose \nu }D^{\nu }u\,D^{\alpha -\nu }v}}$

泰勒展開式：對一多元解析函數f，當${\displaystyle |\mathbf {h} |}$充分小時有下述展開

${\displaystyle f(\mathbf {x} +\mathbf {h} )=\sum _{|\alpha |\geq 0}{\frac {D^{\alpha }f(\mathbf {x} )}{\alpha$ !}}\mathbf {h} ^{\alpha }}

其實這不外是定義，多元指標在此提供了簡練的表示法。

對於存在夠高階導數的函數，我們也有帶餘項的泰勒展開式：

${\displaystyle f(\mathbf {x} +\mathbf {h} )=\sum _{|\alpha |\leq n}{{\frac {D^{\alpha }f(\mathbf {x} )}{\alpha$ !}}\mathbf {h} ^{\alpha }}+R_{n}(\mathbf {x} ,\mathbf {h} )}

其中的最後一項（餘項）有多種表法，例如柯西的積分表法：

${\displaystyle R_{n}(\mathbf {x} ,\mathbf {h} )=(n+1)\sum _{|\alpha |=n+1}{\frac {\mathbf {h} ^{\alpha }}{\alpha$ !}}\int _{0}^{1}(1-t)^{n}D^{\alpha }f(\mathbf {x} +t\mathbf {h} )\,dt}

一個形式上的${\displaystyle n}$變元${\displaystyle N}$-階偏微分算子能以多重指標寫成

${\displaystyle P(D)=\sum _{|\alpha |\leq N}{}{a_{\alpha }(x)D^{\alpha }}}$

分部積分：對有界定義域${\displaystyle \Omega \subset \mathbb {R} ^{n}}$上的緊支集光滑函數，我們有

${\displaystyle \int _{\Omega }{}{u(D^{\alpha }v)}\,dx=(-1)^{|\alpha |}\int _{\Omega }^{}{(D^{\alpha }u)v\,dx}}$

此公式用以定義分佈與弱導數。