大气质量 (天文学)

天體與天頂的距離是" 天頂角 "（在天文學，通常稱為" 天頂距離"）。物體的角位置也可以用高度角，在幾何地平上的角度；因此，高度${\displaystyle h}$和天頂角${\displaystyle z}$的關係為：

${\displaystyle h=90^{\circ }-z\,.}$

大氣折射導致光跟隨著地球圓弧的路徑比幾何路徑稍長，因此大氣質量必須考慮更長的路線（Young 1994）。另外，折射使出現在地平線附近時的位置比實際的更高；在地平線上，實際真天頂角和視天頂角的差別大約是34角分。大多數大氣質量公式是基於視天頂角，但有些是基於真天頂角。所以，重要的是要確保使用正確的值，特別是在地平線附近 [2]。

當天頂角足夠小時，可以很好的假設一個均勻的平面平行大氣（即密度恆定，而且地球的曲率被忽略），就可以給出很好的近似。大氣質量${\displaystyle X}$就可以簡化成僅僅是天頂角的正割：

${\displaystyle X=\sec \,z\,.}$

在天頂角60°時，大氣質量大約是2。然而，因為地球不是平的，這個公式只適用於天頂角大約在60°至75°（取決於對精度的要求）。在更大的天頂角時，準確度迅速將低，隨著趨近於地平，${\displaystyle X=\sec \,z}$將變得無限大；在更加真實的球形大氣中，地平線的大氣質量通常小於40。

已經發展出許多公式以調適大氣質量表格的值，其一是 Young and Irvine (1967)列出的插值公式，包含一個簡單的修正項：

${\displaystyle X=\sec \,z_{\mathrm {t} }\,\left[1-0.0012\,(\sec ^{2}z_{\mathrm {t} }-1)\right]\,,}$

此處${\displaystyle z_{\mathrm {t} }}$是真天頂角。這可以適用至大約80°，但它的準確性在更大的角度時會迅速的衰退。計算的大氣質量在86.6°時是11.13，但在88°時其值為0，而在地平線時的數值為負無窮大。在繪製這個公式的伴隨圖時，會包括大氣折射的修正，使計算所得的大氣質量是以視天頂角取代真天頂角。

Hardie (1962)引入多項式${\displaystyle \sec \,z-1}$：

${\displaystyle X=\sec \,z\,-\,0.0018167\,(\sec \,z\,-\,1)\,-\,0.002875\,(\sec \,z\,-\,1)^{2}\,-\,0.0008083\,(\sec \,z\,-\,1)^{3}\,}$

它給定的天頂角可以適用至大約85°。與前面的公式一樣，計算出的大氣質量會達到一個極大值，然後在地平線上時逼近負無窮大。

Rozenberg (1966)建議：

${\displaystyle X=\left(\cos \,z+0.025e^{-11\cos \,z}\right)^{-1}\,,}$

為高天頂角提供了合理的結果，在地平的大氣質量為40。

Kasten and Young (1989)發展的[3]

${\displaystyle X={\frac {1}{\cos \,z+0.50572\,(6.07995^{\circ }+90^{\circ }-z)^{-1.6364}}}\,,}$

為天頂角提供了合理的結果，適用至90°。在地平的大氣質量大約為38。此處的 ${\displaystyle z}$項是角度。

Young (1994)發展的：

${\displaystyle X={\frac {1.002432\,\cos ^{2}z_{\mathrm {t} }+0.148386\,\cos \,z_{\mathrm {t} }+0.0096467}{\cos ^{3}z_{\mathrm {t} }+0.149864\,\cos ^{2}z_{\mathrm {t} }+0.0102963\,\cos \,z_{\mathrm {t} }+0.000303978}}\,}$

依據真天頂角${\displaystyle z_{\mathrm {t} }}$，作者聲稱最大誤差（在地平線上）只有0.0037大氣質量。

Pickering (2002)發展的：

${\displaystyle X={\frac {1}{\sin(h+{244}/(165+47h^{1.1}))}}\,,}$

此處${\displaystyle h}$是視高度${\displaystyle (90^{\circ }-z)}$，以角度為單位。皮克林宣稱它的公式在靠近地平的誤差只有Schaefer (1998)的十分之一[4]

插值公式試圖用極少的計算為大氣質量表提供一個良好的適應。然而，表格中的數值必須從地球及其大氣的幾何和物理考量，得出的測量或大氣模型來確定。

大氣對光的傳導可以類比，就像大氣集中在低於9公里的高度。

如果可以忽略折射，它就可以簡單地用幾何來考慮（舍恩伯格1929，173）天頂角為${\displaystyle z}$，大氣對稱徑向高度為${\displaystyle y}$的光線路徑${\displaystyle s}$：

${\displaystyle s={\sqrt {R_{\mathrm {E} }^{2}\cos ^{2}z+2R_{\mathrm {E} }y_{\mathrm {atm} }+y_{\mathrm {atm} }^{2}}}-R_{\mathrm {E} }\cos \,z\,}$

或是二擇一的替代

${\displaystyle s={\sqrt {\left(R_{\mathrm {E} }+y_{\mathrm {atm} }\right)^{2}-R_{\mathrm {E} }^{2}\sin ^{2}z}}-R_{\mathrm {E} }\cos \,z\,}$

此處的${\displaystyle R_{\mathrm {E} }}$是地球半徑。

如果大氣層是均質 (物理)（也就是說密度是恆定的），天頂的路徑單純的只是大氣高度${\displaystyle y_{\mathrm {atm} }}$的變數，相對的大氣質量是：

${\displaystyle X={\frac {s}{y_{\mathrm {atm} }}}={\frac {R_{\mathrm {E} }}{y_{\mathrm {atm} }}}{\sqrt {\cos ^{2}z+2{\frac {y_{\mathrm {atm} }}{R_{\mathrm {E} }}}+\left({\frac {y_{\mathrm {atm} }}{R_{\mathrm {E} }}}\right)^{2}}}-{\frac {R_{\mathrm {E} }}{y_{\mathrm {atm} }}}\cos \,z\,.}$

如果密度是恆定的，流體靜力學與大氣高度的關係是：

${\displaystyle y_{\mathrm {atm} }={\frac {kT_{0}}{mg}}\,,}$

此處的${\displaystyle k}$是波茲曼常數，${\displaystyle T_{0}}$是海平面的溫度， ${\displaystyle m}$是大器的分子質量，並且${\displaystyle g}$重力加速度。雖然這與等溫大氣的大氣標高相同，但本質略有不同。在等溫大氣中，37%的大氣壓力高於大氣標高；在均質大氣中，在大氣標高之上沒有大氣層。

讓${\displaystyle T_{0}}$ = 288.15 K，${\displaystyle m}$ = 28.9644×1.6605×10⁻²⁷ kg，並且${\displaystyle g}$ = 9.80665 m/s²，得到${\displaystyle y_{\mathrm {atm} }}$ ≈ 8435 m。取地球的半徑值為 6371 km，在地平的海平面大氣質量為：

${\displaystyle X_{\mathrm {horiz} }={\sqrt {1+2{\frac {R_{\mathrm {E} }}{y_{\mathrm {atm} }}}}}\approx 38.87\,.}$

均質球面模型略為低估了地平線附近空氣質量增加的速度，從更嚴謹的模型中給出的值有著合理的整體擬合，可以設定大氣質量與天頂角小於90°的值匹配。大氣質量的方程式可以重新排列成：

${\displaystyle {\frac {R_{\mathrm {E} }}{y_{\mathrm {atm} }}}={\frac {X^{2}-1}{2\left(1-X\cos z\right)}}\,;}$

當取${\displaystyle R_{\mathrm {E} }/y_{\mathrm {atm} }}$ ≈ 631.01 and ${\displaystyle X_{\mathrm {horiz} }}$ ≈ 35.54，在${\displaystyle z}$ = 88°，可以吻合Bemporad的數值：19.787。此處，${\displaystyle R_{\mathrm {E} }}$的值與前述相同， ${\displaystyle y_{\mathrm {atm} }}$ ≈ 10,096 m。

雖然均質大氣不是逼真的物理模型，但只要大氣標高的高度相較於行星的半徑是微小的，這樣的近似是合理的。

這個模型在所有的天頂角度，包括大於90°（參見下文：Homogeneous spherical atmosphere with elevated observer），都是可用的（亦即它不會趨近於無窮大或0）。

這個模型需要的計算量相對較小，如果不需要高精度，它足以給出合理的結果[5]。

然而，對於天頂角小於90°，有幾個插值公式可以給出更好、更合適的大氣質量。,