大衍求一术

一次同余式组问题，最早见于《孙子算经》卷下第二十六问：

有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二。问物几何？答曰：二十三。術曰：三三數之，賸二，置一百四十；五五數之，賸三，置六十三；七七數之，賸二 ，置三十。并之，得二百三十三，以二百一十減之，即得。凡三三數之，賸一，則置七十；五五數之，賸一，則置二十一；七七數之，賸一，則置十五。一百六以上，以一百五 減之，即得。

宋周密《志雅堂杂钞》述鬼谷算，又名隔墙算。

杨辉《继古摘奇算法》记载剪管术解孙子物不知数的算法：

术曰：三数剩一下七十，五数剩一下二十一，七数剩一下五十。三位并之得二百三十三，满一百五去之，减两个一百五，余二十三为答数

七数剩一，八数剩二，九数剩三，问本总数几何？答曰：四百九十八

明严恭《通源算法》：[1]

今有散钱不知其数，作七十七穿之，欠五十凑穿，若作七十八穿之，不多不少。问钱数若干？答曰：二千一百六文

明朝数学家程大位有《孙子歌》如下：[2]

三人同行七十希，五樹梅花廿一支，七子團圓正半月，除百零五使得知

清代学者张敦仁在《求一算术》中提出大衍求一术源自《孙子算经》物不知数，后世学者，多从其说。但近年李俨、钱宝琮等学者提出大衍求一术很可能源自西汉《三统历》中计算上元积年的“通其率”近似法，其后《古四分历》和《乾象历》沿用此法。[3][4]

事实上，秦九韶在《数书九章序》中就写道：“独大衍法不载《九章》，未有能推之者，历家推演法颇用之”，“历家虽用，其用不知，小试经世，姑推所为，述大衍第一。”

秦九韶大衍总数术

秦九韶大衍总数术原载《数书九章》第一卷上 大衍类 《蓍卦发微》：

置诸元数，两两连环求等，约奇弗约偶，遍约毕，乃变元数，皆曰定母，列右行，各立天元一为子，列左行，以定诸母，互乘左行之子，各得名曰衍数，次以各定母满去衍数，各余名曰奇数，以奇数与定母，用大衍术求一。

程序如下：[5][6][7]。

1。将问数（有关问题中的数字）[${\displaystyle m_{1}}$，${\displaystyle m_{2}}$……${\displaystyle m_{n}}$]，分为四大类

• 元数：整数
• 收数：带小数的有理数。
• 通数：分数
• 复数：10的倍数。

2.如果问数[${\displaystyle m_{1}}$，${\displaystyle m_{2}}$……${\displaystyle m_{n}}$]是收数，则以10的倍数乘之化为元数列，按元数计算。

3：如果问数[${\displaystyle m_{1}}$，${\displaystyle m_{2}}$……${\displaystyle m_{n}}$]包含分数，则化为元数列，按元数计算。

4。当问数[${\displaystyle m_{1}}$，${\displaystyle m_{2}}$……${\displaystyle m_{n}}$]是整数

4.1:将问数成对以其最大公约数约化，约奇数不约偶数；如二数都是偶数，约化其中之一。如二数中一个数是10的倍数，另一数的个位是5，则约化偶数不约化奇数。最后得到一组

定母：[${\displaystyle m'_{1}}$，${\displaystyle m'_{2}}$……${\displaystyle m'_{n}}$]。

定母之中避免过多1，得到一个“1”即可。各定母为相应问数的因子；定母两两互为质数。定母的乘积称为衍母，是问数的最小公倍数。

衍母 v=∏ ${\displaystyle m'_{i}}$; i=1…n;

4.3：将各定母分别除衍母，得到一组衍数：[${\displaystyle M_{1}}$，${\displaystyle M_{2}}$……${\displaystyle M_{n}}$]

其中 衍数 ${\displaystyle M_{i}=}$ v/${\displaystyle m'_{i}}$

4.4 用定母${\displaystyle m'_{i}}$ 约化衍数${\displaystyle M_{i}}$ (i=1……n)；余数${\displaystyle d_{i}}$ 称为奇数。

4.4 当奇数${\displaystyle d_{i}}$=1时，乘率${\displaystyle x_{i}}$=定母${\displaystyle m'_{i}}$。

4.5 当奇数${\displaystyle d_{i}}$≠1时，从定母${\displaystyle m'_{i}}$和奇数${\displaystyle d_{i}}$，用大衍求一术计算乘率${\displaystyle x_{i}}$；（i=1……n)；

例一：《孙子算经》“物不知数”，

• 问数：3，5，7；因两两互素，也即定母。
• 定母：3，5，7
• 衍母 =3*5*7=105
• 衍数=35，21，15
• 奇数：2，1，1
• 乘率：?,5,7

例二：问数108，57，75，40

定数：27，19，25，8

• 衍母 =27*19*25*8=102600
• 衍数=3800，5400，4104，12825
• 奇数：20， 4， 4， 1
• 乘率：？，？，？，8

• 中国剩余定理
• 秦九韶