Talbot曲线

埃伦弗里德·瓦尔特·冯·切恩豪斯、紀堯姆·德·洛必達及歐仁·查爾斯·加泰羅尼亞都曾研究此曲線。在R C Archibald於1900年發表的論文中將此稱為切恩豪斯立方曲線，不過也稱為洛必達立方曲線（de L'Hôpital's cubic）或加泰羅尼亞三等分角线（trisectrix of Catalan）。

令${\displaystyle t=\tan(\theta /3)}$，再應用棣莫弗公式可得

${\displaystyle x=a\cos \theta \sec ^{3}{\frac {\theta }{3}}=a(\cos ^{3}{\frac {\theta }{3}}-3\cos {\frac {\theta }{3}}\sin ^{2}{\frac {\theta }{3}})\sec ^{3}{\frac {\theta }{3}}}$

${\displaystyle =a\left(1-3\tan ^{2}{\frac {\theta }{3}}\right)=a(1-3t^{2})}$

${\displaystyle y=a\sin \theta \sec ^{3}{\frac {\theta }{3}}=a\left(3\cos ^{2}{\frac {\theta }{3}}\sin {\frac {\theta }{3}}-\sin ^{3}{\frac {\theta }{3}}\right)\sec ^{3}{\frac {\theta }{3}}}$

${\displaystyle =a\left(3\tan {\frac {\theta }{3}}-\tan ^{3}{\frac {\theta }{3}}\right)=at(3-t^{2})}$

可以得到此曲線的參數式。參數t可以消去，得到以下方程式

${\displaystyle 27ay^{2}=(a-x)(8a+x)^{2}}$.

若此參數式水平平移8a，方程式會變成

${\displaystyle x=3a(3-t^{2})}$

${\displaystyle y=at(3-t^{2})}$

或

${\displaystyle x^{3}=9a\left(x^{2}-3y^{2}\right)}$.

因此可以得到另一個極坐標方程式

${\displaystyle r=9a\left(\sec \theta -3\sec \theta \tan ^{2}\theta \right)}$.

• J. D. Lawrence, A Catalog of Special Plane Curves. New York: Dover, 1972, pp. 87-90.

• 埃里克·韦斯坦因. . MathWorld.
• "Tschirnhaus' Cubic" at MacTutor History of Mathematics Archive（页面存档备份，存于）
• "Cubique de Tschirnhausen" at Encyclopédie des Formes Mathématiques Remarquables（页面存档备份，存于） (in French)