陪集

加法循环群 Z₄ = {0, 1, 2, 3} = G，有子群H = {0, 2}（同构于Z₂)。H在G中的左陪集为

0 + H = {0, 2} = H

1 + H = {1, 3}

2 + H = {2, 0} = H

3 + H = {3, 1}.

因此存在两种不同的陪集H本身和1 + H = 3 + H。注意每个G中元素或者在H中，或者在1 + H中，也即，H ∪ (1 + H ) = G，所以H在G中不同的陪集构成G的一个划分。因为Z₄是交换群，右陪集和左陪集相同。

另一个陪集的例子来自线性空间中。线性空间的向量在向量加法下组成一个阿贝尔群。可以证明原来的线性空间的子空间是这个群的子群。对于给定的线性空间 V，子空间 W 和 V 中的一个固定向量 a，集合

${\displaystyle \{x\in V\colon x=a+n,n\in W\}}$

被称为“仿射子空间”。它们都是 W 的陪集。对于欧几里得空间，仿射子空间代表与给定的过原点的直线或平面平行的直线或平面。

gH = H 当且仅当 g 是 H 中的元素。

一个子群 H 的两个左（右）陪集要么相同，要么不交——即左（右）陪集的集合构成了群 G 的一个划分：群中的每个元素属于且仅属于一个左（右）陪集。特别地，单位元只在一个陪集中，即是 H 自己。因此 H 也是所有左（右）陪集中唯一的子群。这个划分称为 G 对 H 的左（右）陪集分解。

如果定义 G 中的等价关系为：x ~_H y （x 等价于 y ）当且仅当x ^-1y ∈ H，那么 H 在 G 中的左陪集正是所有不同的等价类。类似的结论对右陪集也成立（当${\displaystyle xy^{-1}\in H}$）。

一个陪集的代表元是建立在上述等价关系上的概念。陪集中的每个元素都可以作为该陪集的代表元。

H的所有左（右）陪集的阶都是一样的。H 在 G 中的左陪集个数和右陪集个数也是一样的，称为 H 在 G 中的指数。记作 ${\displaystyle [G:H]}$。由陪集的性质很容易得到拉格朗日定理，其说明在 G 为有限群时：

|G | = [G : H ] · |H |。

无限群G可能有具有有限指数的子群H（例如，整数群中的偶数）。可以证明，这样的子群总是包含一个具有有限指数的（G的）正规子群N。事实上，如果H具有指数n，则N的指数是n!的因子。这一性质可以通过具体的例子来体现：考虑G通过乘法在H的左陪集上的置换作用（或者，在右陪集上的作用也是同样的例子）

${\displaystyle \pi \ :G\times S_{H}\to S_{H}}$

${\displaystyle .\ \ \ (\ g\ ,\ aH)\longmapsto gaH}$

其中 ${\displaystyle S_{H}}$ 是所有陪集的集合。对 G 中任意的 g， ${\displaystyle \pi _{g}\ :aH\mapsto gaH}$ 都是一个置换。再考虑相应的置换表示：${\displaystyle \Pi \ :g\mapsto \pi _{g}}$ ，这个置换表示的核给出了G的一个正规子群N，而它的象是G的一个商群：一个在n个元素上的对称群的子群。

n = 2时，上述性质表明指数为2的子群总是一个正规子群，因为 2!=2。

• 双陪集
• 堆
• 拉格朗日定理
• 正规子群
• 商群

• 胡冠章，《应用近世代数》，第2章，清华大学出版社。