對偶小波

給一個平方可積函數 ${\displaystyle \psi \in L^{2}(\mathbb {R} )}$, 定義級數 ${\displaystyle \{\psi _{jk}\}}$ 由

${\displaystyle \psi _{jk}(x)=2^{j/2}\psi (2^{j}x-k)}$

給整數 ${\displaystyle j,k\in \mathbb {Z} }$.

這種函數稱為R函數(R-function)，假如${\displaystyle \{\psi _{jk}\}}$的線性展延在${\displaystyle L^{2}(\mathbb {R} )}$上,且假如存在一個正的常數A, B，其中${\displaystyle 0<A\leq B<\infty }$ 如下式

${\displaystyle A\Vert c_{jk}\Vert _{l^{2}}^{2}\leq {\bigg \Vert }\sum _{jk=-\infty }^{\infty }c_{jk}\psi _{jk}{\bigg \Vert }_{L^{2}}^{2}\leq B\Vert c_{jk}\Vert _{l^{2}}^{2}\,}$

對於所有雙無限平方累加(bi-infinite square summable)級數 ${\displaystyle \{c_{jk}\}}$. 在這裡, ${\displaystyle \Vert \cdot \Vert _{l^{2}}}$ 代表平方和範數:

${\displaystyle \Vert c_{jk}\Vert _{l^{2}}^{2}=\sum _{jk=-\infty }^{\infty }\vert c_{jk}\vert ^{2}}$

而 ${\displaystyle \Vert \cdot \Vert _{L^{2}}}$ 代表在 ${\displaystyle L^{2}(\mathbb {R} )}$的通常範數(usual norm):

${\displaystyle \Vert f\Vert _{L^{2}}^{2}=\int _{-\infty }^{\infty }\vert f(x)\vert ^{2}dx}$

由里斯表示定理(Riesz representation theorem)，存在一個獨特的對偶基底(dual basis) ${\displaystyle \psi ^{jk}}$ 如下式

${\displaystyle \langle \psi ^{jk}\vert \psi _{lm}\rangle =\delta _{jl}\delta _{km}}$

${\displaystyle \delta _{jk}}$為克羅內克函數(Kronecker delta)，而 ${\displaystyle \langle f\vert g\rangle }$為在${\displaystyle L^{2}(\mathbb {R} )}$的內積(inner produce)。確實，這裡存在一個對於平方可積函數 f 表示基底的特殊級數表示:

${\displaystyle f(x)=\sum _{jk}\langle \psi ^{jk}\vert f\rangle \psi _{jk}(x)}$

假如這裡存在一個函數 ${\displaystyle {\tilde {\psi }}\in L^{2}(\mathbb {R} )}$ 如下式

${\displaystyle {\tilde {\psi }}_{jk}=\psi ^{jk}}$

${\displaystyle {\tilde {\psi }}}$ 稱為對偶小波(dual wavelet)或是小波對偶至ψ(wavelet dual to ψ). 一般來說，對於一些R函數(R-function)ψ,對偶不一定存在。在特別情況 ${\displaystyle \psi ={\tilde {\psi }}}$中,這個小波稱為正交小波(orthogonal wavelet)。

要舉一個沒有對偶的R函數(R-function)很簡單。讓${\displaystyle \phi }$ 為一個正交小波。然後定義 ${\displaystyle \psi (x)=\phi (x)+z\phi (2x)}$，z 為複數.如此一來可以很簡單的表明 ψ 沒有對偶小波。

• Multiresolution analysis

• Charles K. Chui, An Introduction to Wavelets (Wavelet Analysis & Its Applications), (1992), Academic Press, San Diego, ISBN 0-12-174584-8