尤葛—理希定理

以下公式表示取自賈盟（Diamond）與哈巴施潭。[3]^:81其他的公式表示可見於尤葛與理哲、[2]^:230哈巴施潭與理希、[4]^:231以及那丹生（Nathanson）等人的結果。[1]^:257

假定${\displaystyle A}$是一個整數的有限序列，而${\displaystyle P}$是質數集合，設${\displaystyle A_{d}}$為${\displaystyle A}$中可被${\displaystyle d}$除盡的元素構成的集合，並設${\displaystyle P(z)}$為${\displaystyle P}$中小於${\displaystyle z}$的質數的乘積，然後再設${\displaystyle \omega (d)}$為一個使得${\displaystyle \omega (p)/p}$大致與${\displaystyle A}$中可被${\displaystyle p}$除盡的元素成比例的積性函數。然後${\displaystyle X}$為${\displaystyle A}$中元素的大致個數，則其餘項可表示如下：

${\displaystyle r_{A}(d)=\left|A_{d}\right|-{\frac {\omega (d)}{d}}X.}$

設${\displaystyle S(A,P,z)}$為${\displaystyle A}$中與${\displaystyle P(z)}$彼此互質的元素的個數，則有下式：

${\displaystyle V(z)=\prod _{p\in P,p<z}\left(1-{\frac {\omega (p)}{p}}\right).}$

再設${\displaystyle \nu (m)}$為${\displaystyle m}$彼此相異的質因數的數量，並設${\displaystyle F_{1}}$及${\displaystyle f_{1}}$為滿足特定微分差分方程的方程式。（可參見賈盟與哈巴施潭的書[3]^:67–68以知其定義與性質）現在假定篩選密度的維度為一，也就是在存在常數${\displaystyle C}$，使得${\displaystyle 2\leq z<w}$的情況下，可得以下關係式：

${\displaystyle \prod _{z\leq p<w}\left(1-{\frac {\omega (p)}{p}}\right)^{-1}\leq \left({\frac {\log w}{\log z}}\right)\left(1+{\frac {C}{\log z}}\right).}$

（賈盟與哈巴施潭的書[3]將此定理延伸到維度大於一的狀況）那麼尤葛—理希定理就表示說對於任意滿足${\displaystyle 2\leq z\leq y\leq X}$的數${\displaystyle y}$與${\displaystyle z}$而言，有以下關係式：

${\displaystyle S(A,P,z)\leq XV(z)\left(F_{1}\left({\frac {\log y}{\log z}}\right)+O\left({\frac {(\log \log y)^{3/4}}{(\log y)^{1/4}}}\right)\right)+\sum _{m|P(z),m<y}4^{\nu (m)}\left|r_{A}(m)\right|}$

及

${\displaystyle S(A,P,z)\geq XV(z)\left(f_{1}\left({\frac {\log y}{\log z}}\right)-O\left({\frac {(\log \log y)^{3/4}}{(\log y)^{1/4}}}\right)\right)-\sum _{m|P(z),m<y}4^{\nu (m)}\left|r_{A}(m)\right|.}$