山邊問題

給出維數${\displaystyle n\geq 3}$的光滑緊緻流形${\displaystyle M}$及黎曼度量${\displaystyle g}$，是否必然存在共形於${\displaystyle g}$的度量${\displaystyle g'}$，使得${\displaystyle g'}$的數量曲率為常數？換言之，${\displaystyle M}$上是否存在光滑函數${\displaystyle f}$，使得 ${\displaystyle g'=e^{2f}g}$有常數量曲率？

現已知道確有如此度量，證明使用了微分幾何、偏微分方程、泛函分析的技巧。

推廣到非緊緻流形上的山邊問題是：在非緊緻的光滑完備黎曼流形${\displaystyle (M,g)}$，是否必然存在共形度量${\displaystyle g'}$，使數量曲率為常數，且流形仍為完備？這問題的答案為否，Jin Zhiren發現其反例。

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