手徵性

假設上夸克 ${\displaystyle u}$ 與下夸克 ${\displaystyle d}$ 的質量為零，則這兩個夸克組成的物理系統的拉格朗日量為

${\displaystyle {\mathcal {L}}={\overline {u}}\,i\displaystyle {\not }D\,u+{\overline {d}}\,i\displaystyle {\not }D\,d}$ ；

其中，${\displaystyle u}$ 與 ${\displaystyle d}$ 分別為上夸克與下夸克的狄拉克旋量（Dirac spinor），${\displaystyle {\overline {u}}\ {\stackrel {def}{=}}\ u^{\dagger }\gamma ^{0}}$ 與 ${\displaystyle {\overline {d}}\ {\stackrel {def}{=}}\ d^{\dagger }\gamma ^{0}}$ 分別為它們的伴隨旋量，${\displaystyle \displaystyle {\not }D}$ 是協變導數，${\displaystyle \gamma ^{0}}$ 是第零個狄拉克矩陣。

狄拉克旋量 ${\displaystyle \psi }$ 可以按照手徵性分解為左手狄拉克旋量 ${\displaystyle \psi _{L}}$ 與右手狄拉克旋量 ${\displaystyle \psi _{R}}$ ︰

${\displaystyle \psi _{L}={\frac {1-\gamma ^{5}}{2}}\psi }$ 、

${\displaystyle \psi _{R}={\frac {1+\gamma ^{5}}{2}}\psi }$ ；

其中，${\displaystyle \gamma ^{5}}$ 是第五個狄拉克矩陣，${\displaystyle (1\mp \gamma ^{5})/2}$ 是投影算符，可以挑選出狄拉克旋量的左手部分或右手部分。

拉格朗日量以左手狄拉克旋量與右手狄拉克旋量表示為

${\displaystyle {\mathcal {L}}={\overline {u}}_{L}\,i\displaystyle {\not }D\,u_{L}+{\overline {u}}_{R}\,i\displaystyle {\not }D\,u_{R}+{\overline {d}}_{L}\,i\displaystyle {\not }D\,d_{L}+{\overline {d}}_{R}\,i\displaystyle {\not }D\,d_{R}}$ 。

定義狄拉克旋量二重態為

${\displaystyle q=\left({\begin{matrix}u\\d\end{matrix}}\right)}$ 。

重寫狄拉克旋量為

${\displaystyle {\mathcal {L}}={\overline {q}}_{L}\,i\displaystyle {\not }D\,q_{L}+{\overline {q}}_{R}\,i\displaystyle {\not }D\,q_{R}}$。

分別對 ${\displaystyle q_{L}}$ 、${\displaystyle q_{R}}$ 用2 x 2 么矩陣 L、R做旋轉變換，則拉格朗日量不變。這種對稱性稱為「手徵對稱性」。這種變換為U(2)_L× U(2)_R變換，可以分解為SU(2)_L×SU(2)_R×U(1)_V×U(1)_A變換。[2]

U(1)_V變換的方式為

${\displaystyle q_{L}\rightarrow e^{i\theta }q_{L}\qquad q_{R}\rightarrow e^{i\theta }q_{R}}$。

拉格朗日量對於這變換的對稱性關係到強子數量守恆。

U(1)_A變換的方式為

${\displaystyle q_{L}\rightarrow e^{i\theta }q_{L}\qquad q_{R}\rightarrow e^{-i\theta }q_{R}}$。

拉格朗日量對於U(1)_A變換的對稱性在量子層級被打破，這是一個明顯對稱性破缺，這結果稱為U(1)軸反常。

剩下的手徵對稱性SU(2)_L×SU(2)_R會因夸克凝聚被自發打破為向量子群SU(2)_V，稱為同位旋。根據戈德斯通定理，當連續對稱性被自發打破後必會生成一種零質量玻色子，稱為戈德斯通玻色子。手徵對稱性也是連續對稱性，它的戈德斯通玻色子是π介子。對應於這三個生成子的戈德斯通玻色子為π介子。實際而言，由於上夸克與下夸克的質量都很微小。SU(2)_L×SU(2)_R只是一個近似對稱性。因此，π介子具有些微質量，是準戈德斯通玻色子（pseudo-Goldstone boson）。[3]