巴拿赫不动点定理

设(X, d)为非空的完备度量空间。设T : X → X为X上的一个压缩映射，也就是说，存在一个非负的实数q < 1，使得对于所有X内的x和y，都有：

${\displaystyle d(T(x),T(y))\leq q\cdot d(x,y)}$

那么映射T在X内有且只有一个不动点x^*（这就是说，Tx^* = x^*）。更进一步，这个不动点可以用以下的方法来求出：从X内的任意一个元素x₀开始，定义一个迭代序列x_n = Tx_n-1，其中n = 1，2，3，……。那么，这个序列收敛，极限为x^*。以下的不等式描述了收敛的速率：

${\displaystyle d(x^{*},x_{n})\leq {\frac {q^{n}}{1-q}}d(x_{1},x_{0}).}$

等价地：

${\displaystyle d(x^{*},x_{n+1})\leq {\frac {q}{1-q}}d(x_{n+1},x_{n})}$

且

${\displaystyle d(x^{*},x_{n+1})\leq qd(x_{n},x^{*}).}$

满足以上不等式的最小的q有时称为利普希茨常数。

注意对于所有不同的x和y都有d(Tx, Ty) < d(x, y)的要求，一般来说是不足以保证不动点的存在的，例如映射T : [1,∞) → [1,∞)，T(x) = x + 1/x，就没有不动点。但是，如果空间X是紧的，则这个较弱的假设也能保证不动点的存在。

当实际应用这个定理时，最艰难的部分通常是如何恰当地定义X，使T把元素从X映射到X，即Tx总是X的一个元素。

选择任何${\displaystyle x_{0}\in (X,d)}$。如果${\displaystyle Tx_{0}=x_{0}}$，则不必证明；以下设${\displaystyle x_{1}=Tx_{0}\neq x_{0}}$。对于每一个${\displaystyle n\in \{2,\ldots \}}$，定义${\displaystyle x_{n}=Tx_{n-1}\,\!}$。我们声称对于所有的${\displaystyle n\in \{1,2,\dots \}}$，以下等式都成立：

${\displaystyle d(x_{n+1},x_{n})\leq q^{n}d(x_{1},x_{0})}$。

我们用数学归纳法来证明。对于${\displaystyle n=1\,\!}$的情况，命题是成立的，这是因为：

${\displaystyle d(x_{1+1},x_{1})=d(x_{2},x_{1})=d(Tx_{1},Tx_{0})\leq qd(x_{1},x_{0})}$。

假设命题对于某个${\displaystyle k\in \{1,2,\ldots \}}$是成立的。那么，我们有：

${\displaystyle d(x_{(k+1)+1},x_{k+1})\,\!}$	${\displaystyle =d(x_{k+2},x_{k+1})\,\!}$
	${\displaystyle =d(Tx_{k+1},Tx_{k})\,\!}$
	${\displaystyle \leq qd(x_{k+1},x_{k})}$
	${\displaystyle \leq q\cdot q^{k}d(x_{1},x_{0})}$
	${\displaystyle =q^{k+1}d(x_{1},x_{0})\,\!}$。

从第三行到第四行，我们用到了归纳假设。根据数学归纳法原理，对于所有的${\displaystyle n\in \{1,2,\ldots \}}$，以上的命题都成立。

设${\displaystyle \epsilon >0\,\!}$。由于${\displaystyle 0\leq q<1}$，我们便可以找出一个较大的${\displaystyle N\in \{1,2,\ldots \}}$，使得：

${\displaystyle q^{N}<{\frac {\epsilon (1-q)}{d(x_{1},x_{0})}}}$。

利用以上的命题，我们便有对于任何${\displaystyle m\,\!}$，${\displaystyle n\in \{0,1,\ldots \}}$以及${\displaystyle m>n\geq N}$，都有：

${\displaystyle d\left(x_{m},x_{n}\right)}$	${\displaystyle \leq d(x_{m},x_{m-1})+d(x_{m-1},x_{m-2})+\cdots +d(x_{n+1},x_{n})}$
	${\displaystyle \leq q^{m-1}d(x_{1},x_{0})+q^{m-2}d(x_{1},x_{0})+\cdots +q^{n}d(x_{1},x_{0})}$
	${\displaystyle =d(x_{1},x_{0})q^{n}\cdot \sum _{k=0}^{m-n-1}q^{k}}$
	${\displaystyle <d(x_{1},x_{0})q^{n}\cdot \sum _{k=0}^{\infty }q^{k}}$
	${\displaystyle =d(x_{1},x_{0})q^{n}{\frac {1}{1-q}}}$
	${\displaystyle =q^{n}{\frac {d(x_{1},x_{0})}{1-q}}}$
	${\displaystyle <{\frac {\epsilon (1-q)}{d(x_{1},x_{0})}}\cdot {\frac {d(x_{1},x_{0})}{1-q}}}$
	${\displaystyle =\epsilon \,\!}$。

第一行的不等式可以从三角不等式推出；第四行的级数是一个几何级数，其中${\displaystyle 0\leq q<1}$，因此它收敛。以上表明${\displaystyle \{x_{n}\}_{n\geq 0}}$是${\displaystyle (X,d)\,\!}$内的一个柯西序列，所以根据完备性，它是收敛的。因此设${\displaystyle x^{*}=\lim _{n\to \infty }x_{n}}$。我们作出两个声明：第一，${\displaystyle x^{*}\,\!}$是${\displaystyle T\,\!}$的一个不动点，也就是说，${\displaystyle Tx^{*}=x^{*}\,\!}$；第二，${\displaystyle x^{*}\,\!}$是${\displaystyle T\,\!}$在${\displaystyle (X,d)\,\!}$中的唯一的不动点。

为了证明第一个命题，我们注意到对于任何的${\displaystyle n\in \{0,1,\ldots \}}$，都有：

${\displaystyle 0\leq d(x_{n+1},Tx^{*})=d(Tx_{n},Tx^{*})\leq qd(x_{n},x^{*})}$。

由于当${\displaystyle n\to \infty }$时，${\displaystyle qd(x_{n},x^{*})\to 0}$，因此根据夹挤定理，可知${\displaystyle \lim _{n\to \infty }d(x_{n+1},Tx^{*})=0}$。这表明当${\displaystyle n\to \infty }$时，${\displaystyle x_{n}\to Tx^{*}}$。但当${\displaystyle n\to \infty }$时，${\displaystyle x_{n}\to x^{*}}$，且极限是唯一的；因此，一定是${\displaystyle x^{*}=Tx^{*}\,\!}$的情况。

为了证明第二个命题，我们假设${\displaystyle y\,\!}$也满足${\displaystyle Ty=y\,\!}$。那么：

${\displaystyle 0\leq d(x^{*},y)=d(Tx^{*},Ty)\leq qd(x^{*},y)}$。

由于${\displaystyle 0\leq q<1}$，因此上式意味着${\displaystyle 0\leq (1-q)d(x^{*},y)\leq 0}$，这表明${\displaystyle d(x^{*},y)=0\,\!}$，于是根据正定性，${\displaystyle x^{*}=y\,\!}$，定理得证。

巴拿赫不动点定理有许多逆定理，以下的一个是Czesław Bessaga在1959年发现的：

设${\displaystyle f:X\rightarrow X}$为一个抽象集合的映射，使得每一个迭代f ⁿ都有一个唯一的不动点。设q为一个实数，0 < q < 1。那么存在X上的一个完备度量，使得f是压缩映射，且q是压缩常数。

一个有趣的事实是，若把某国的地图缩小后印在该国领土内部，那么在地图上有且仅有这样一个点，它在地图中的位置也恰巧表示它所落在的土地位置。证明如下：

• 为了方便起见，这里把地球近似看作是正球体。
• 首先，按照经纬度可以给地球表面上每一个点标出坐标 (x, y)，其中前元是经度、后元是纬度。又定义地面上任意两点间的距离 d(A, B) 是 A 到 B 间大圆弧的弧长。
• 其次，把这国家的地图上的点按照其所代表点的实际经纬度标出坐标 (u, v)。
• 那么对于地图上任意一点 P 而言，它既在地图上表示地点 (up, vp)，又实际在地面上占有点 (xp, yp)。显然，这构成了从集合 S={P|P 是地面上的点且 P 属于该国领土} 到其本身的映射，现记作 M(P)=M((xp, yp))=(up, vp)。
• 又因为地图是缩小的，即对于任意两个地点 A∈S、B∈S 而言，d(A, B)>d(M(A), M(B))，也即 M(P) 是一个压缩映射。
• 事实上，取实数 k>1 作为地图比例尺的分母、即 1:k，那么由比例尺的定义知 d(A, B)=kd(M(A), M(B))，两边同除以 k 得 d(A, B)*(1/k)=d(M(A), M(B))。换言之，存在实数 q=1/k<1 满足对于 S 内所有的 A 和 B，d(M(A), M(B))≤qd(A, B)，这里等号总是成立。
• 现在将 S 视为以 d 为度量的空间，那么它显然是一个完备度量空间。
• 根据巴拿赫不动点定理，M 在 S 内有且仅有一个不动点，即该点恰好被印在它所表示的土地位置上。Q.E.D.

关于巴拿赫不动点定理的推广，请参见无穷维空间中的不动点定理。

• Vasile I. Istratescu, Fixed Point Theory, An Introduction, D.Reidel, the Netherlands (1981). ISBN 90-277-1224-7 See chapter 7.
• Andrzej Granas and James Dugundji, Fixed Point Theory (2003) Springer-Verlag, New York, ISBN 0-387-00173-5.
• Kirk, William A.; Khamsi, Mohamed A. . John Wiley, New York. 2001. ISBN 978-0-471-41825-2.
• William A. Kirk and Brailey Sims, Handbook of Metric Fixed Point Theory (2001), Kluwer Academic, London ISBN 0-7923-7073-2.
• Bourbawiki上巴拿赫不动点定理的证明