巴拿赫极限

某些不收敛的级数在巴拿赫极限的作用下是唯一确定的。 例如${\displaystyle x=(1,0,1,0,\ldots )}$，注意到${\displaystyle x+S(x)=(1,1,1,\ldots )}$是常序列，并且

${\displaystyle 2\phi (x)=\phi (x)+\phi (Sx)=\phi (x+Sx)=\phi ((1,1,1,\ldots ))=\lim((1,1,1,\ldots ))=1.}$

因此对每个巴拿赫极限而言，它以${\displaystyle 1/2}$为极限。

我们将每个巴拿赫极限${\displaystyle \phi }$下有相同的${\displaystyle \phi (x)}$的有界序列${\displaystyle x}$称为几乎收敛的。

在${\displaystyle c\subset \ell ^{\infty }}$中给定收敛序列${\displaystyle x=(x_{n})}$，如果考虑对偶${\displaystyle \langle \ell ^{1},\ell ^{\infty }\rangle }$，${\displaystyle x}$通常的极限并不由${\displaystyle \ell ^{1}}$的某个元素给出。实际上${\displaystyle \ell ^{\infty }}$是${\displaystyle \ell ^{1}}$的连续对偶空间（对偶巴拿赫空间）；反过来，${\displaystyle \ell ^{1}}$虽然能诱导出${\displaystyle \ell ^{\infty }}$中的连续线性泛函，但并不是全部。每个${\displaystyle \ell ^{\infty }}$上的巴拿赫极限都是${\displaystyle \ell ^{\infty }}$的对偶巴拿赫空间中的一个元素，但不在${\displaystyle \ell ^{1}}$中。${\displaystyle \ell ^{\infty }}$的对偶叫做ba空间，由一切自然数集子集的σ-代数上有限可加（符号）测度组成，或者等价地说是由每个自然数集的Stone–Čech紧化上的波莱尔（符号）测度组成。

• . PlanetMath.

• Balcar, Bohuslav; Štěpánek, Petr. 2. Praha: Academia. 2000. ISBN 802000470X （捷克语）.
• Conway, John B. . Graduate Texts in Mathematics 96. New York: Springer. 1994. ISBN 0-387-97245-5.