布拉格定律

圖為布拉格繞射。兩束相同波長及相的輻射，向着固態晶體前進，最後被裏面的兩個原子所散射出去。下面的束被散射後，比上面的束多行了 ${\displaystyle {\begin{smallmatrix}2d\sin \theta \end{smallmatrix}}}$ 的距離。當這個距離等於輻射波長的倍數時，散射後的兩束輻射就會產生相長干涉。

當電磁輻射或亞原子粒子波的波長，與進入的晶體樣本的原子間距長度相若時，就會產生布拉格繞射，入射物會被系統中的原子以鏡面形式散射出去，並會按照布拉格定律所示，進行相長干涉。對於晶質固體，波被晶格平面所散射，各相鄰平面間的距離為d。當被各平面散射出去的波進行相長干涉時，它們的相位依然相同，因此每一波的路徑長度皆為波長的整數倍。進行相長干涉兩波的路徑差為${\displaystyle {\begin{smallmatrix}2d\sin \theta \end{smallmatrix}}}$，其中${\displaystyle {\begin{smallmatrix}\theta \end{smallmatrix}}}$為散射角。由此可得布拉格定律，它所描述的是晶格中相鄰晶體平面（由米勒指數h、k及l 標記），產生相長干涉的條件[4] ：

${\displaystyle 2d\sin \theta =n\lambda \!}$，

其中n為整數，按各項參數大小而定，而λ則為波長[5]。通過量度散射後入射波的強度，並將之表示成入射角的函數，可得干涉圖樣。在干涉圖樣中，當散射波滿足布拉格條件，就會產生非常強的強度，它們叫布拉格尖峰。

儘管很多人都以為布拉格定律量度的是實空間中的原子距離，但事實並不是這樣的。在布拉格實驗中，只有在量度的距離與晶格圖中的d成反比時，第一陳述才似乎會是正確的。而且，從布拉格定律的${\displaystyle n\lambda }$項，可以看出定律量度兩排原子間到底能放多少個波長，因此它所量度的是倒距離。倒晶格向量描述的是某組晶格平面，它是這組平面的法向量，其長度為${\displaystyle G=2\pi /d}$。馬克斯·馮·勞厄用向量形式正確地詮釋了倒晶格向量，並得出以他命名的勞厄方程式：

${\displaystyle {\vec {G}}\ =\ {\vec {k_{f}}}\ -\ {\vec {k_{i}}}}$

其中${\displaystyle {\vec {G}}}$為倒晶格向量，而${\displaystyle {\vec {k_{f}}}}$及${\displaystyle {\vec {k_{i}}}}$為入射及繞射束的波向量。

彈性散射條件${\displaystyle |k_{f}|=|k_{i}|}$，及散射角${\displaystyle 2\theta }$與上式結合後，基本上與布拉格方程等效。這是因為動量轉移守恆的緣故。在這個系統中，其掃掠變量可以是長度、入射方向或出射波向量，其中波向量與系統中的能量及角度彌散有關。繞射角與Q空間的關係可用一簡單的式子表示：

${\displaystyle Q={\frac {4\pi \sin \left(\theta \right)}{\lambda }}}$。

倒晶格是一晶格的傅立葉空間，在晶格上應用完整的波動力學時，這個概念是不可或缺的。

設一單色波（任何種類），進入一組對齊的平面晶格點，其平面間距為${\displaystyle d}$，入射角為${\displaystyle \theta }$，如右圖所示。波被晶格點A反射後會沿AC'行進，而沒有被反射的波則沿AB繼續行進，被晶格點B反射後路徑為BC。AC'與BC間存在路徑差，表達式為

${\displaystyle (AB+BC)-(AC')}$。

只有在路徑差等於波長的整數倍時，這兩股分開的波，在到達某一點時，會是同相位的，才會因此產生相長干涉，故相長干涉的產生條件為

${\displaystyle (AB+BC)-(AC')=n\lambda }$， （需要為C'下定義）

其中${\displaystyle n}$與${\displaystyle \lambda }$的定義同上。

從上圖可見，

${\displaystyle AB=BC={\frac {d}{\sin \theta }}\,}$ 且 ${\displaystyle AC={\frac {2d}{\tan \theta }}}$，

由此可得，

${\displaystyle AC'=AC\cdot \cos \theta ={\frac {2d}{\tan \theta }}\cos \theta =\left({\frac {2d}{\sin \theta }}\cos \theta \right)\cos \theta ={\frac {2d}{\sin \theta }}\cos ^{2}\theta }$。

組合上述各式，得

${\displaystyle n\lambda ={\frac {2d}{\sin \theta }}(1-\cos ^{2}\theta )={\frac {2d}{\sin \theta }}\sin ^{2}\theta }$，

簡化後可得：

${\displaystyle n\lambda =2d\sin \theta }$，

即布拉格定律。

膠體晶體為一種非常有序的粒子陣列，可以在大範圍內形成（長度從幾微米到幾毫米不等），而且可被看作原子及分子晶體的類比[6]。球狀粒子的週期性陣列，會形成出相似的空隙陣列，而這種陣列可被用作可見光的繞射光柵，尤其是當空隙與入射波長為同一數量級的時候[7][8][9]。

因此，科學家們在很多年前就發現了，由於相斥庫侖相互作用的關係，水溶液中的帶電荷高分子，會表現出大範圍的類晶體相互關聯，當中粒子間距一般會比粒子直徑要大得多。在自然的所有這種例子中，都可到看到一樣的漂亮構造色（或晃動的色彩），這都可以歸功於可見光波的相長干涉，而此時光波會滿足布拉格條件，跟結晶固體的X射線繞射類似。

就跟上文提過的那樣，布拉格定律可用於計算某立方晶系的晶格間距，關係式如下：

${\displaystyle d={\frac {a}{\sqrt {h^{2}+k^{2}+l^{2}}}}}$

其中${\displaystyle a}$為立方晶體的晶格間距，而${\displaystyle h}$、${\displaystyle k}$及${\displaystyle l}$則為布拉格平面的密勒指數，將上式與布拉格定律結合可得：

${\displaystyle \left({\frac {\lambda \ }{2a}}\right)^{2}={\frac {\sin ^{2}\theta \ }{h^{2}+k^{2}+l^{2}}}}$。

我們可以推導出各種不同立方布拉菲晶格的密勒指數選擇定則；以下是其種幾種晶格的選擇定則。

這些選擇定則可用於對應晶體結構下的任何晶體。儘管氯化鈉呈現面心立方的結構，但是由於氯離子跟鈉離子的大小相近，因此繞射圖樣實質上跟簡單立方結構一致，只是各項晶體參數都小了一半。其他結構的選擇定則可在各種相關的參考文獻中找到，也可以自行推導出來。

• 晶格
• 繞射
• 分散式布拉格反射器
• 光纖布拉格光柵
• 亨德森極限
• 繞射的動力學理論
• 勞厄方程式
• 粉末繞射
• 結構因子
• 威廉·勞倫斯·布拉格
• X射線晶體學

• Neil W. Ashcroft and N. David Mermin, Solid State Physics (Harcourt: Orlando, 1976).
• Bragg, W.L. . Proceedings of the Cambridge Philosophical Society. 1913, 17: 43–57.

• 1915年諾貝爾物理學獎 （页面存档备份，存于）
• http://www.citycollegiate.com/interference_braggs.htm （页面存档备份，存于）
• https://web.archive.org/web/20100421231804/http://srs.dl.ac.uk/station/9.4/diffraction-selection-rules.htm
• http://www.physics.uoguelph.ca/~detong/phys3510_4500/xray.pdf （页面存档备份，存于）