希爾伯特第十六問題

希爾伯特第十六問題，是希爾伯特的23個問題之一。它分成兩個部份：

• 實代數曲線與曲面的拓撲結構

Harnack在1876年證明了一個平面上${\displaystyle n}$次實代數曲線最多有${\displaystyle {\frac {n^{2}-3n+4}{2}}}$個分支。希爾伯特提議研究這些分支之間的拓撲性質，並將Harnack的估計推廣到空間裡的實代數曲面。

• 極限環的拓撲結構

給定二元${\displaystyle n}$次實多項式${\displaystyle P(x,y),Q(x,y)}$，考慮下述平面上的動力系統

${\displaystyle \left\{{\begin{array}{ll}{\dfrac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} t}}&=P(x,y)\\{\dfrac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} t}}&=Q(x,y)\end{array}}\right.}$

希爾伯特提議研究其極限環的最大數目及其拓撲。

总而言之，此問題意在研究由實多項式定義出的拓撲結構。在第一部份，我們考慮實多項式的零點；在第二部份，我們考慮實多項式定義的向量場及其積分曲線。