幂零元

• 首先来看一个矩阵中的例子。在3阶方阵中，矩阵：

${\displaystyle A={\begin{bmatrix}0&1&0\\0&0&1\\0&0&0\end{bmatrix}}}$

是一个幂零元，因为A³ = 0。

• 在商环Z/9Z中，同余类3是一个幂零元，因为3²是同余类0。

• 如果在不交换的环R中，a,b满足ab=0。那么元素c=ba（如果非零的话）是一个幂零元，因为c²=(ba)²=b(ab)a=0。在矩阵中的一个例子是：

${\displaystyle A_{1}={\begin{bmatrix}0&1\\0&1\end{bmatrix}},\;\;A_{2}={\begin{bmatrix}0&1\\0&0\end{bmatrix}}\ }$

于是有 ${\displaystyle A_{1}A_{2}=0,\;(A_{2}A_{1})^{2}=0}$

在一个非平凡的交换环中，幂零元不可能是乘法的可逆元。每个幂零元显然都是零因子。

在交换环中，所有的幂零元组成一个理想，称作这个环的诣零根。每个素理想都包含所有的幂零元，实际上，所有素理想的交集就是环的诣零根。

如果x是幂零元，那么1 − x就是一个可逆元，因为由xⁿ = 0 可得

(1 − x) (1 + x + x² + ... + xⁿ⁻¹) = 1 − xⁿ = 1。

更一般地，在满足交换律的情况下，可逆元与幂零元之和依然是一个可逆元。

一个域上的n阶方阵是幂零元，当且仅当它的特征多项式等于${\displaystyle t^{n}}$。

• 环