平面應力

在数学上，如果三个主应力 （ 柯西应力张量的特征张量 ）之一为零，则材料中某个点的应力为平面应力。 也就是说，在笛卡尔坐标系中的应力张量具有以下形式：${\displaystyle \sigma ={\begin{bmatrix}\sigma _{11}&0&0\\0&\sigma _{22}&0\\0&0&0\end{bmatrix}}\equiv {\begin{bmatrix}\sigma _{x}&0&0\\0&\sigma _{y}&0\\0&0&0\end{bmatrix}}}$

例如，考虑一个长方形的块状材料，沿着它的${\displaystyle x}$ ， ${\displaystyle y}$和${\displaystyle z}$ 方向上的长度分别为 10、40和5 厘米 ，通过在相应的面上施加均匀分布的分别具有大小为10 N和20 N的成对的相反力，使其在${\displaystyle x}$方向被拉伸在${\displaystyle y}$方向上被压缩。 块内的应力张量为 ：

${\displaystyle \sigma ={\begin{bmatrix}500\mathrm {Pa} &0&0\\0&-4000\mathrm {Pa} &0\\0&0&0\end{bmatrix}}}$

更一般地，如果任意选择前两个坐标轴，但垂直方向的应力为零，则应力张量的形式为：

${\displaystyle \sigma ={\begin{bmatrix}\sigma _{11}&\sigma _{12}&0\\\sigma _{21}&\sigma _{22}&0\\0&0&0\end{bmatrix}}\equiv {\begin{bmatrix}\sigma _{x}&\tau _{xy}&0\\\tau _{yx}&\sigma _{y}&0\\0&0&0\end{bmatrix}}}$

因此可以用2×2矩阵来表示：

${\displaystyle \sigma _{ij}={\begin{bmatrix}\sigma _{11}&\sigma _{12}\\\sigma _{21}&\sigma _{22}\end{bmatrix}}\equiv {\begin{bmatrix}\sigma _{x}&\tau _{xy}\\\tau _{yx}&\sigma _{y}\end{bmatrix}}}$

1. Meyers and Chawla (1999): "Mechanical Behavior of Materials," 66-75.