并行退火

一般的蒙特卡洛模拟使用Metropolis抽样，即接受概率${\displaystyle P(acc)=min(1,e^{-{\frac {\Delta U}{k_{B}T}}})}$，相同高度的势垒，温度越低越难以逾越，使得模拟需要相当长的模拟步长才能达到平衡，统计抽样满足各态历经。为了提高性能，采取如下策略：同时模拟一系列仅有温度不同的系统，在某些时刻随机选取相邻两个温度的系统，按如下接受概率置换两系统的温度：

${\displaystyle p(acc)=\min \left(1,{\frac {\exp \left(-{\frac {E_{j}}{k_{B}T_{i}}}-{\frac {E_{i}}{k_{B}T_{j}}}\right)}{\exp \left(-{\frac {E_{i}}{kT_{i}}}-{\frac {E_{j}}{kT_{j}}}\right)}}\right)=\min \left(1,e^{(E_{i}-E_{j})\left({\frac {1}{kT_{i}}}-{\frac {1}{kT_{j}}}\right)}\right),}$

其中，E_i和E_j是两个系统的总能量，T_i，T_j是温度，k_B是玻尔兹曼因子。温度置换的过程是非物理的，但只要在一步中选择普通Metropolis抽样和温度置换分别以一定概率择其一，此过程仍然遵守细致平衡。[3]

并行退火可以用于温度以外的变量以改进抽样。例如，巨正则系综下蒙特卡罗模拟兰纳-琼斯势粒子的气液相平衡时，如果系统条件远离临界温度，密度的涨落很小，模拟中难以观测相变。而同时模拟多个化学势的系统，并按相似的接受法则置换系统的化学势：

${\displaystyle p(acc)=\min \left(1,\exp \left[(\beta _{j}\mu _{j}^{ex}-\beta _{i}\mu _{i}^{ex})(N_{i}-N_{j})-(\beta _{j}-\beta _{i})(U_{i}-U_{j})\right]\right),}$

其中i,j是两个超额化学势（相对理想气体）分别为${\displaystyle \mu _{i},\mu _{j}}$的系统，它们的粒子个数分别为${\displaystyle N_{i},N_{j}}$，内能分别为${\displaystyle U_{i},U_{j}}$. 此模拟得到的密度概率函数能准确地反映气相和液相两个峰。[4]

并行退火在训练神经网络时也有相似的应用。将一个系统运行在N个不同温度的条件下，并根据Metropolis法则 （页面存档备份，存于）交换不同温度下的状态，因而可以用高温环境的参数去模拟低温环境，反之亦然。并行退火算法可用于人工神经网络训练，改进MCMC，虽然增加了计算复杂度，但提供了更快的马尔科夫链混合（mixing，指收敛）速度和更高的准确性。神经元之间的参数交换被描述为不同温度下分子状态的交换，随机交换的概率由Metropolis法则给出。尤其用于约束波茨曼机训练。[5]