庞加莱-林德斯泰特方法

无阻尼、非强迫运动的杜芬方程为

${\displaystyle {\ddot {x}}+x+\varepsilon \,x^{3}=0\,}$

其中t > 0，0 < ε ≪ 1。[4]

假设初值为

${\displaystyle x(0)=1,\,}$   ${\displaystyle {\dot {x}}(0)=0.\,}$

使用摄动法，假设级数解为x(t) = x₀(t) + ε x₁(t) + … 。可以得到，级数的前两项为

${\displaystyle x(t)=\cos(t)+\varepsilon \left[{\tfrac {1}{32}}\,\left(\cos(3t)-\cos(t)\right)-{\tfrac {3}{8}}\,t\,\sin(t)\right]+\cdots .\,}$

此近似解会随着时间无限地增大，与该方程所描述的物理系统不符。而导致这一原因的是其中的长期项t sin t 随时间而不断增大。为使近似解随时间变化仍然有效，可以采用如下的庞加莱－林德斯泰特方法。

此方法中，不仅近似解本身表示为渐近展开，时间t也表示为级数形式

${\displaystyle \tau =\omega t,\,}$   其中   ${\displaystyle \omega =\omega _{0}+\varepsilon \omega _{1}+\cdots .\,}$

由于解的角频率的领头项为1，取ω₀ = 1。于是，原方程变为

${\displaystyle \omega ^{2}\,x''(\tau )+x(\tau )+\varepsilon \,x^{3}(\tau )=0\,}$

初值则不变。假设解的形式为 x(τ) = x₀(τ) + ε x₁(τ) + … ，通过ε的零阶与一阶项可以得到

${\displaystyle {\begin{aligned}x_{0}&=\cos(\tau )\\x_{1}&={\tfrac {1}{32}}\,\left(\cos(3\tau )-\cos(\tau )\right)+\left(\omega _{1}-{\tfrac {3}{8}}\right)\,\tau \,\sin(\tau ).\end{aligned}}}$

取ω₁ = ³⁄₈便可消除长期项。按此继续进行分析，便可得到更高阶的精度。以下为精确到ε一阶精度的近似解为

${\displaystyle x(t)\approx \cos {\Bigl (}\left(1+{\tfrac {3}{8}}\,\varepsilon \right)\,t{\Bigr )}+{\tfrac {1}{32}}\,\varepsilon \,\left[\cos {\Bigl (}3\left(1+{\tfrac {3}{8}}\,\varepsilon \,\right)\,t{\Bigr )}-\cos {\Bigl (}\left(1+{\tfrac {3}{8}}\,\varepsilon \,\right)\,t{\Bigr )}\right].\,}$