庞特里亚金最大化原理

此定理一開始的名稱是庞特里亚金最大化原理（Pontryagin's maximum principle），其證明也是以控制哈密頓量最大化為基礎。此原理最早的應用是要最大化火箭的終端速度。不過後來此定理大部份的應用是使性能指標最小化，因此常稱為庞特里亚金最小化原理。庞特里亚金的書解出了要讓性能指標最小化的問題[3]

以下的內容會使用這些表示方式

${\displaystyle \Psi _{T}(x(T))={\frac {\partial \Psi (x)}{\partial T}}|_{x=x(T)}\,}$

${\displaystyle \Psi _{x}(x(T))={\begin{bmatrix}{\frac {\partial \Psi (x)}{\partial x_{1}}}|_{x=x(T)}&\cdots &{\frac {\partial \Psi (x)}{\partial x_{n}}}|_{x=x(T)}\end{bmatrix}}}$

${\displaystyle H_{x}(x^{*},u^{*},\lambda ^{*},t)={\begin{bmatrix}{\frac {\partial H}{\partial x_{1}}}|_{x=x^{*},u=u^{*},\lambda =\lambda ^{*}}&\cdots &{\frac {\partial H}{\partial x_{n}}}|_{x=x^{*},u=u^{*},\lambda =\lambda ^{*}}\end{bmatrix}}}$

${\displaystyle L_{x}(x^{*},u^{*})={\begin{bmatrix}{\frac {\partial L}{\partial x_{1}}}|_{x=x^{*},u=u^{*}}&\cdots &{\frac {\partial L}{\partial x_{n}}}|_{x=x^{*},u=u^{*}}\end{bmatrix}}}$

${\displaystyle f_{x}(x^{*},u^{*})={\begin{bmatrix}{\frac {\partial f_{1}}{\partial x_{1}}}|_{x=x^{*},u=u^{*}}&\cdots &{\frac {\partial f_{1}}{\partial x_{n}}}|_{x=x^{*},u=u^{*}}\\\vdots &\ddots &\vdots \\{\frac {\partial f_{n}}{\partial x_{1}}}|_{x=x^{*},u=u^{*}}&\ldots &{\frac {\partial f_{n}}{\partial x_{n}}}|_{x=x^{*},u=u^{*}}\end{bmatrix}}}$

以下是讓泛函最小化的必要條件。令${\displaystyle x}$為在輸入為${\displaystyle u}$時，動態系統的狀態，且滿足以下條件

${\displaystyle {\dot {x}}=f(x,u),\quad x(0)=x_{0},\quad u(t)\in {\mathcal {U}},\quad t\in [0,T]}$

其中

${\displaystyle {\mathcal {U}}}$為可行控制的集合

${\displaystyle T}$為系統的結束時間。

控制${\displaystyle u\in {\mathcal {U}}}$需在所有${\displaystyle t\in [0,T]}$內使目標泛函${\displaystyle J}$最小化，目標泛函${\displaystyle J}$隨應用而定，可以寫成

${\displaystyle J=\Psi (x(T))+\int _{0}^{T}L(x(t),u(t))\,dt}$

系統動態的限制可以用導入時變拉格朗日乘数向量${\displaystyle \lambda }$的方式和${\displaystyle L}$相加，而拉格朗日乘数向量${\displaystyle \lambda }$的元素稱為系統的協態（costate）。因此可以建構在所有 ${\displaystyle t\in [0,T]}$的哈密頓量為：

${\displaystyle H(x(t),u(t),\lambda (t),t)=\lambda ^{\rm {T}}(t)f(x(t),u(t))+L(x(t),u(t))\,}$

其中${\displaystyle \lambda ^{\rm {T}}}$是${\displaystyle \lambda }$的轉置。

庞特里亚金最小化原理提到最佳狀態軌跡${\displaystyle x^{*}}$，最佳控制${\displaystyle u^{*}}$及對應的拉格朗日乘数向量${\displaystyle \lambda ^{*}}$必需最小化哈密頓量${\displaystyle H}$，因此

${\displaystyle (1)\qquad H(x^{*}(t),u^{*}(t),\lambda ^{*}(t),t)\leq H(x^{*}(t),u,\lambda ^{*}(t),t)\,}$

針對所有${\displaystyle t\in [0,T]}$時間，也針對所有可能的控制輸入${\displaystyle u\in {\mathcal {U}}}$。以下的式子也必須成立

${\displaystyle (2)\qquad \Psi _{T}(x(T))+H(T)=0\,}$

而且也要滿足以下的協態方程

${\displaystyle (3)\qquad -{\dot {\lambda }}^{\rm {T}}(t)=H_{x}(x^{*}(t),u^{*}(t),\lambda (t),t)=\lambda ^{\rm {T}}(t)f_{x}(x^{*}(t),u^{*}(t))+L_{x}(x^{*}(t),u^{*}(t))}$

若最終狀態${\displaystyle x(T)}$沒有固定（其微分變異不為0），最終協態也要滿足以下條件

${\displaystyle (4)\qquad \lambda ^{\rm {T}}(T)=\Psi _{x}(x(T))\,}$

上述(1)-(4)的條件是最佳控制的必要條件。公式(4)只有在${\displaystyle x(T)}$沒有固定時才需要成立。若${\displaystyle x(T)}$是固定值，公式(4)不在必要條件中。

此解法可以應用在宇宙學和天體物理學中 [4]。

• 巴拿赫空间下的拉格朗日乘数，變分法下中的拉格朗日法
• 奇異控制：無法利用龐特里亞金最小化原理求出完整解的最優控制問題。

• Boltyanskii, V. G.; Gamkrelidze, R. V.; Pontryagin, L. S. [Towards a Theory of Optimal Processes]. Dokl. Akad. Nauk SSSR. 1956, 110 (1): 7–10. MR 0084444 （俄语）.
• Pontryagin, L. S.; Boltyanskii, V. G.; Gamkrelidze, R. V.; Mishchenko, E. F. . English translation. Interscience. 1962. ISBN 2-88124-077-1.
• Fuller, A. T. . J. Electronics & Control. 1963, 15 (5): 513–517.
• Kirk, D. E. . Prentice Hall. 1970. ISBN 0-486-43484-2.
• Sethi, S. P.; Thompson, G. L. 2nd. Springer. 2000. ISBN 0-387-28092-8. Slides are available at （页面存档备份，存于）
• Geering, H. P. . Springer. 2007. ISBN 978-3-540-69437-3.
• Ross, I. M. . Collegiate. 2009. ISBN 978-0-9843571-0-9.
• Cassel, Kevin W. . Cambridge University Press. 2013.

• Hazewinkel, Michiel (编), , , Springer, 2001, ISBN 978-1-55608-010-4