康托尔定理

證明：對任何的集合 ${\displaystyle S}$，它的元素與冪集 ${\displaystyle {\mathcal {P}}(S)}$ 的元素之間不可能存在一一對應（雙射）的關係。

（利用歸謬法）假設：可以找到一個集合 ${\displaystyle A}$ 和一個函數${\displaystyle f:A\to {\mathcal {P}}(A)}$，它使得兩個集合之間的全部元素都配對且僅配對一次。

對於 ${\displaystyle A}$ 中的任意元素${\displaystyle s}$，顯然${\displaystyle s}$ 或者屬於${\displaystyle f(s)}$或者不屬於${\displaystyle f(s)}$。

我們假設 ${\displaystyle T=\{x\in A\,|\,x\notin f(x)\}}$，则 ${\displaystyle T\in {\mathcal {P}}(A)}$；由假设知存在 ${\displaystyle x}$ 使得 ${\displaystyle f(x)=T}$.

（1）如果${\displaystyle x\in T}$，由 ${\displaystyle T}$ 的定義，${\displaystyle x\notin f(x)}$，既然${\displaystyle f(x)=T}$，那就推得 ${\displaystyle x\notin T}$.

（2）如果${\displaystyle x\notin T}$，由 ${\displaystyle T}$ 的定義，${\displaystyle x\in f(x)}$，既然${\displaystyle f(x)=T}$，那就推得 ${\displaystyle x\in T}$.

兩者都矛盾。因此我們對於存在函數 ${\displaystyle f}$ 的假設是不成立的。證明完畢[1]

集合的個數為可数无限时。不失一般性，我们用自然数構造的集合來討論。

要證明：對於自然數 N 和它的幂集 ${\displaystyle {\mathcal {P}}(N)}$，不存在一個双射函數 ${\displaystyle f:N\to {\mathcal {P}}(N)}$

（利用歸謬法）假設：自然數 N 和它的幂集 ${\displaystyle {\mathcal {P}}(N)}$，存在一個双射函數 ${\displaystyle f:N\to {\mathcal {P}}(N)}$

那麼我們就可以有序的將所有「對應」表列如下（這裡的數字只是示例），表中含有所有「自然數構成的集合」：

${\displaystyle X{\begin{Bmatrix}1&\Longleftrightarrow &\{4,5\}\\2&\Longleftrightarrow &\{1,2,3\}\\3&\Longleftrightarrow &\{4,5,6\}\\4&\Longleftrightarrow &\{1,3,5\}\\\vdots &\vdots &\vdots \end{Bmatrix}}P(\mathbb {N} )}$

雖然元素的順序不重要，不過我們假設從左到右以由小到大的方式記錄冪集合中的元素，方便討論。

我們以這樣的表構造集合${\displaystyle W}$，構造方式為：

當左側的自然數「屬於」它對應的冪集合，我們就在 ${\displaystyle W}$ 裡面記錄「不存在」這個自然數。

反之當左側的自然數「不屬於」它對應的冪集合，我們就在 ${\displaystyle W}$ 裡面記錄「存在」這個自然數。

以上表為例：

${\displaystyle 1\Longleftrightarrow \{4,5\},1\notin \{4,5\}}$，我們定義 ${\displaystyle 1\in W}$ 。（顯然 ${\displaystyle W}$不可能和這一項的冪集合相同）

${\displaystyle 2\Longleftrightarrow \{1,2,3\},2\in \{1,2,3\}}$，我們定義 ${\displaystyle 2\notin W}$。（顯然 ${\displaystyle W}$不可能和這一項的冪集合相同）

......

以此規則構造的 ${\displaystyle W}$ 和表中每一個冪集合都不同，所以它不可能在表中。

${\displaystyle W}$ 是自然數構成的集合，所以它必然在表中。

得到矛盾。假設的${\displaystyle f}$ 並不成立，說明 ${\displaystyle {\mathcal {P}}(N)}$ 的势和自然數的势不相等。依照冪集合的定義${\displaystyle {\mathcal {P}}(N)}$包含所有自然數的子集，所以我們得到${\displaystyle {\mathcal {P}}(N)}$ 的基數大于N的基數。證明完畢。

格奥尔格·康托尔在1891年发表的论文《Über eine elementare Frage der Mannigfaltigkeitslehre》中本质上给出了这个证明，实数不可数的对角论证法也首次在这里出现。在这个论文中给出的这个论证的版本使用的是在集合上的指示函数而不是集合子集。他证明了如果f是定义在X上的函数，它的值是在X上的二值函数，则二值函数G(x) = 1 − f(x)(x)不在f的值域中。

罗素在《数学原理》（1903, section 348）中给出了一个非常类似的证明，在这里他证明了命题函数要比对象多。“假设所有对象和所有和它们相关的命题函数之间有一种对应，并令phi-x为x所对应的命题函数。则'非-phi-x(x)'，也即"phi-x对于x不成立",是一个在这个对应中没有出现的命题函数；因为它在phi-x假的时候为真，在phi-x真的时候为假，因此它和任何一个x所对应的phi-x不同”。他在康托尔之后贡献了这个想法。

恩斯特·策梅洛在他1908年发表的成为现代集合论基础的论文《Untersuchungen über die Grundlagen der Mengenlehre I》中有一个定理（他称之为康托尔定理）同于上面的论证形式。

康托尔定理的一个推论请参见beth数。

• 康托尔悖论