廣義相對論的替代理論

建立新的重力理論的動機隨著年代不同，最早先的動機是要解釋行星軌道（牛頓重力）以及更複雜的軌道（例如：拉格朗日）。再來登場的是不成功的嘗試——要合併重力與波理論或微粒(corpuscular)理論的新重力理論。隨著勞侖茲變換的發現，物理學的樣貌徹底改變，而導致了將其與重力調和的嘗試。在此同時，實驗物理學家開始測試重力與相對論的基礎——勞侖茲不變性、重力造成的光線偏折、Eötvös實驗。這些考量導致與考驗了廣義相對論的發展。

${\displaystyle c\;}$為光速，${\displaystyle G\;}$為重力常數。幾何變數(Geometric variables)在此不使用。

拉丁字母指標取值從1到3，希臘字母指標取值從0到3。採用愛因斯坦取和原則。

${\displaystyle \eta _{\mu \nu }\;}$為閔可夫斯基度規。${\displaystyle g_{\mu \nu }\;}$為一張量，通常是度規張量。其有標記(signature)${\displaystyle (-,+,+,+)}$。

協變微分(Covariant differentiation)寫為${\displaystyle \nabla _{\mu }\phi \;}$或${\displaystyle \phi _{;\mu }\;}$。

也可考慮閱讀廣義相對論的數學條目。

重力理論可以粗略分為數個大類。此處描述的多數理論具有：

• 一作用量（參見最小作用量原理，其為一基於作用量觀念的變分原理）
• 一拉格朗日密度
• 一度規

若一理論具有一拉格朗日密度，寫作${\displaystyle L\,}$，則作用量${\displaystyle S\,}$則是此項的積分，例如： ${\displaystyle S\,\propto \,\int d^{4}xR{\sqrt {-g}}L\,}$

其中${\displaystyle R\,}$是空間的曲率。在此方程式中，通常會有${\displaystyle g=-1\,}$的情形，但並非必要條件。

本文中所描述的理論幾乎每個都有一作用量。這是目前已知的方法來保證能量、動量與角動量守恆能自動成立；儘管如此，要建構使守恆律被違背的作用量仍相當容易。1983年原始版本的MOND並沒有作用量。

一些理論有作用量但沒有拉格朗日密度。一個好的例子是懷海德(1922年)的理論，此中的作用量是非局域的。

一個重力理論是一度規理論(metric theory)僅當其可以給出遵守如下兩個條件的數學表述：

條件1. 存在一度規張量${\displaystyle g_{\mu \nu }\,}$，標記為1，而此度規掌控了原長(proper-length)與原時(proper-time)測量，一如在狹義與廣義相對論：

${\displaystyle ds^{2}=g_{\mu \nu }dx^{\mu }dx^{\nu }\,}$

此式中對指標${\displaystyle \mu }$與${\displaystyle \nu }$進行取和。

條件2. 受到重力作用的具應力物質與場按照下列方程式反應：

${\displaystyle \nabla \cdot T=0\,}$

其中${\displaystyle T\,}$為應力-能量張量，針對所有物質以及非重力的場，而${\displaystyle \nabla }$為隨度規所做的協變導數(covariant derivative)]。

任何重力理論若${\displaystyle g_{\mu \nu }\neq g_{\nu \mu }}$永遠成立，則其非度規理論，但任何度規理論可以給予違背條件1與2的數學描述。

度規理論包括（從簡單至複雜）：

• 純量場理論（包括共形平直理論(Conformally flat theories)，以及具有共形平直空間切面(Conformally flat space slices)的層狀理論(Stratified theories)）

諾德斯特洛姆(Nordström)、Einstein-Fokker、Whitrow-Morduch、Littlewood、Bergman、Page-Tupper, 愛因斯坦（1912年）、Whitrow-Morduch、羅森(Rosen)（1971年）、Papapetrou、倪維斗(Ni)、Yilmaz、[Coleman]、李-萊特曼-倪(Lee-Lightman-Ni)

• 雙度規理論

羅森（1975年）、Rastall、萊特曼-李(Lightman-Lee)

• 類線性理論（包括線性固定規範(Linear fixed gauge)）

懷海德(Whitehead)、Deser-Laurent、Bollini-Giambini-Tiomno

• 張量理論

愛因斯坦廣義相對論

• 純量-張量理論
• 向量-張量理論
• 其他度規理論

（參見後文1980年代至今的現代理論）

非度規理論，則包括嘉當(Cartan)、Belinfante-Swihart。

關於馬赫原理，在這裡做一些陳述是洽當的，因為其中一些理論根據的是馬赫原理，例如懷海德（1922年），and many mention it in passing eg. Einstein-Grossmann (1913), Brans-Dicke (1961). 馬赫原理可以被想作是介於牛頓與愛因斯坦之間的妥協(half-way-house)。可以做如此描述[1]：

• 牛頓：絕對空間與時間。
• 馬赫：參考系源自於宇宙中物質的分布。
• 愛因斯坦：沒有絕對的參考系。

目前為止，所有的實驗證據指出馬赫原理是不正確的，但其可能性尚未被完全排除。

早期重力理論——指的是廣義相對論之前的理論——包括有牛頓（1686年）、愛因斯坦（1912年a & b）、愛因斯坦與格羅斯曼(Grossmann)（1913年）、諾德斯特洛姆(Nordström)（1912年、 1913年）以及愛因斯坦與佛克(Fokker)（1914年）。

在牛頓（1686年）理論中（以更近代的數學重寫），質量密度${\displaystyle \rho \,}$產生了一個純量場${\displaystyle \phi \,}$：

${\displaystyle {\partial ^{2}\phi \over \partial x^{j}\partial x^{j}}=4\pi \rho \,}$。

利用倒三角算符(Nabla operator)${\displaystyle \nabla }$，可以很方面地寫成：

${\displaystyle \nabla ^{2}\phi =4\pi \rho \,}$。

而純量場掌控了自由下落粒子的運動：

${\displaystyle {d^{2}x^{j} \over dt^{2}}+{\partial \phi \over \partial x^{j}\,}=0\,}$。

其中純量場為 ${\displaystyle \phi =GM/r\,}$。

理論與測試的發展是一個牽一個地進行著。多數測試可以被分類為（參見Will 2001）：

• 基本生存力(Basic Viability)
• 愛因斯坦等效原理(Einstein's Equivalence Principle, EEP)
• 參數化後牛頓形式(Parametric Post-Newtonian, PPN)
• 強場重力(Strong Gravity)
• 重力波(Gravitational Waves)

1. 這並非馬赫原先陳述的方式，參見馬赫原理的其他變型