开集

在數學上，特別是拓樸學中，開集是對實數開區間進行推廣之後得到的抽象集合。

通常微積分的課程中，會借助歐式空間的距離去描述數列極限；直觀上，當 $n$ 越來越大時數列 $x_{n}$ 跟 $a$ 要多靠近有多靠近的時候，就說 $a$ 是數列 $x_{n}$ 的極限，但這需要距離去嚴謹的描述「靠近程度」，開集就是來自於＂ $a$ 點附近＂這樣的直觀概念。類似的，函數極限也需要距離的概念去嚴謹定義。

满足

x^{2}+y^{2}=r^{2}

的点

(x,y)

着蓝色。满足

x^{2}+y^{2}<r^{2}

的点

(x,y)

着红色。红色的点形成了开集。红色和蓝色的点的并集是闭集。

定義

歐式空間

$\mathbb {R} ^{n}$ 代表 $n$ 維歐式空間，而 $\mathbb {R} ^{n}$ 中的任兩點距離（歐式距離）為

d_{n}(x,\,y)={\sqrt {\sum _{i=1}^{n}{(x_{i}-y_{i})}^{2}}}

若 $O\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ ，且對所有 $x\in O$ ，存在一个 $r>0$ ，使得對所有 $y\in \mathbb {R} ^{n}$ ，只要 $d_{n}(x,\,y)<r$ 就有 $y\in O$ ，那麼就說子集 $O$ 是 $\mathbb {R} ^{n}$ 中的一個開集。也就是說，開集 $O$ 裡的所有點 $x$ 都有一個以 $x$ 為中心的開球完全包含於 $O$ 。

賦距空间

歐式空間的開集很容易地推廣到賦距空间 $(M,d)$ 中：

$U$ 是 $M$ 的子集，若對所有 $U$ 中的點 $x$ ，存在 $r>0$ 使得對所有 $M$ 中的點 $y$ ，只要 $d(x,y)<r$ ，则 $y$ 也屬於 $U$ ，或以正式的邏輯符號表述為

$(\forall x\in U)(\exists r>0)(\forall y\in M)\left[\,(d(x,\,y)<r)\Rightarrow (y\in U)\,\right]$

則稱 $U$ 是 $M$ 的一個開集。也就是說，如果所有 $U$ 中的点都有完全包含於 $U$ 的開球， $U$ 便是开集。

這的確推廣了歐式空間部分的定義，因為歐式距離和歐式空間本身就組成了一個賦距空間。

賦距空間的開集還會有以下的性質：

定理：

若 $(M,d)$ 為賦距空間，則

(1) $\varnothing$ 和 $M$ 也是 $M$ 的開集。

(2) 若 $A$ 和 $B$ 都是 $M$ 的開集，則 $A\cap B$ 也是 $M$ 的開集。

(3) ${\mathcal {F}}\subseteq {\mathcal {P}}(M)$ （ ${\mathcal {F}}$ 是 $M$ 的一個子集族），若所有 $O\in {\mathcal {F}}$ 都是開集，則 $\bigcup _{F\in {\mathcal {F}}}F$ 也是 $M$ 的開集。（也就是說，任意數量開集的聯集也是開集）

關於上面性質的證明，(1)是非常顯然的；(2)只需取每一點比較小的開球即可[註 1]；(3)根據聯集的定義也是非常顯然的[註 2]。

事實上這些性質這就是拓扑空间定義的動機。

拓撲空間

開集是拓扑空间定義的基石；也就是從任意母集合 $X$ 出發，再選取 $X$ 的特定的子集族 $\tau$ ，規定 $\tau$ 中的集合就是開集，这樣的子集族 $\tau$ 被叫做 $X$ 上的拓樸：

$X$ 為集合，若 $\tau \subseteq {\mathcal {P}}(X)$ 滿足

(1) $\varnothing ,\,X\in \tau$

(2) 若 $A,B\in \tau$ 則 $A\cap B\in \tau$ 。

(3) ${\mathcal {F}}\subseteq \tau$ ，則 $\bigcup _{F\in {\mathcal {F}}}F\in \tau$ 。（也就是說，任意數量開集的聯集也是開集）

則稱 $\tau$ 為 $X$ 上的拓樸，並稱 $(X,\,\tau )$ 為一拓撲空間。任何 $O\in \tau$ 被稱為開集。

根據上一節賦距空間的性質，取 $\tau _{d}$ 為所有 $M$ 的開集所構成的子集族，則顯然 $(M,\,\tau _{d})$ 也是一拓撲空間。

例子

度量空间 $(X,d)$ 中，以点 $x\in X$ 为中心， $\varepsilon$ 为半径的球体 $B(x,\varepsilon )$ 为开集，任意的开集 $A$ 包含以 $x\in A$ 为中心，充分小的 $\varepsilon$ 为半径的球体 $B(x,\varepsilon )$ 。
流形中的开集为子流形。

用处

开集在拓扑学分支中有著基础的重要性。當定义拓扑空间和其他拓扑结构（处理邻近性与收敛此類概念，比如度量空间和一致空间）時，都會用到开集的概念。

拓扑空间X的每個子集A都包含至少一个（可能为空）开集；最大的这种开集被叫做A的内部。它可以通过取包含在A中的所有开集的并集来构造。

给定拓扑空间X和Y，从X到Y的函数f是连续的，如果在Y中的所有开集的前像是在X中的开集。映射f被叫做开映射，如果在X中的所有开集的像是Y中的开集。

实直线上的开集都是可数個不相交开区间的并集。

注释

若 R > r，以 x 為中心半徑為 R 的開球包含於集合 A；以 x 為中心半徑為 r 的開球包含於集合 B；，那以 x 為中心半徑為r的開球一定包含於A ∩ B。
開集直觀上意為每點都有個開球完全在此集合内，而任意個開集的聯集仍保持上述性質。

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[1] 若 R > r，以 x 為中心半徑為 R 的開球包含於集合 A；以 x 為中心半徑為 r 的開球包含於集合 B；，那以 x 為中心半徑為r的開球一定包含於A ∩ B。

[2] 開集直觀上意為每點都有個開球完全在此集合内，而任意個開集的聯集仍保持上述性質。

开集

定義

歐式空間

賦距空间

拓撲空間

例子

用处

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