球 (数学)

在 ${\displaystyle n\,\!}$ 維歐氏空間裡，半徑 ${\displaystyle R\,\!}$ 的球之 ${\displaystyle n\,\!}$ 維體積為[1]：

${\displaystyle V_{n}(R)={\frac {\pi ^{n/2}}{\Gamma ({\frac {n}{2}}+1)}}R^{n},}$

其中，Γ是李昂哈德·歐拉的Γ函數（可被視為階乘在實數的延伸）。使用Γ函數在整數與半整數時的公式，可不需要估算Γ函數即可計算出球的體積：

${\displaystyle V_{2k}(R)={\frac {\pi ^{k}}{k!}}R^{2k},}$

${\displaystyle V_{2k+1}(R)={\frac {2^{k+1}\pi ^{k}}{(2k+1)!!}}R^{2k+1}={\frac {2(k!)(4\pi )^{k}}{(2k+1)!}}R^{2k+1}.}$

在奇數維度時的體積公式裡，對每個奇數${\displaystyle 2k+1\,\!}$，雙階乘 (2k + 1)!! 定義為 (2k + 1)!! = 1 · 3 · 5 ··· (2k − 1) · (2k + 1)。

在具 p-範數 L_p 的笛卡爾空間 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ 裡，開球是指集合

${\displaystyle B(r)=\left\{x\in \mathbb {R} ^{n}\,:\,\sum _{i=1}^{n}\left|x_{i}\right|^{p}<r^{p}\right\}.}$

在二維（n=2）時，L₁（通常稱為曼哈頓度量）的球是對角線平行於坐標軸的正方形；而 L_∞（切比雪夫度量）的球則是個邊平行於坐標軸的正方形。對於 p 的其他值，該球則會是超橢圓的內部。

在三維（n=3）時，L₁ 的球是個對角線平行為坐標軸的八面體，而 L_∞ 的球則是個邊平行為坐標軸的正立方體。對於 p 的其他值，該球則會是超橢球的內部。

更一般性地，給定任一 Rⁿ 內中心對稱、有界、開放且凸的集合 X，均可定義一個在 Rⁿ 的範數，該球均為 X 平移再一致縮放後所得之集合。須注意，若將此定理內的「開」子集以「閉」子集替代，則定理不能成立，因為原點也符合定理內所定之集合，但無法定義 Rⁿ 內的範數。

“（开）球”一词有时被非正式地用于指代任何开集：可以用“p 点周围的一个球”代表包含p 的一个开集。该集合同胚于什么依赖于背景拓扑空间以及所选取的开集。同样，“闭球”有时用于表示这样一个开集的闭包。（这可能产生误导，例如超度量空间中一个闭球不是同样半径的开球的闭包，它们都是既开且闭的。）

有时，邻域用于指代这个意义上的球，但是邻域其实有更一般的意义：p 的一个邻域是任何包含一个p 的开集的集合，因此通常不是开集。

X 內的 n 維（開或閉）拓撲球是指 X 內同胚於 n 維（開或閉）歐幾里得球的任一子集，該子集不一定需要由某個度量導出。n 維拓撲球在組合拓撲學裡很重要，為建構胞腔復形的基礎。

任一 n 維開拓撲球均同胚於笛卡爾空間 Rⁿ 及 n 維開單位超方形 ${\displaystyle (0,1)^{n}\subseteq \mathbb {R} ^{n}}$。任一 n 維閉拓撲球均同胚於 n 維閉超方形 [0, 1]ⁿ。

n 維球同胚於 m 維球，若且唯若 n = m。n 維開球 B 與 Rⁿ 間的同胚可分成兩種類型，以 B 的兩種可能之拓撲定向來區分。

一個 n 維拓撲球不一定是光滑的；若該球是光滑的，亦不一定需微分同胚於一 n 維歐幾里得球。