逻辑异或

在逻辑中，逻辑算符互斥或（英語：）是对两个运算元的一种邏輯分析类型。与一般的邏輯或不同，當兩兩數值相同時為否，而數值不同時為真。[1]

{\begin{smallmatrix}p\oplus q\end{smallmatrix}}

的文氏图

对于命题 $p,q$ ， $p$ 异或 $q$ 通常记作 $p\operatorname {XOR} q$ 或 $p\oplus q$ 。在编程语言中，常写作p ^ q。

逻辑异或相当于逻辑不等价，或者说逻辑异或的逻辑非是逻辑等价。

真值表

异或运算 $p\oplus q$ 的真值表如下：


$p$	$q$	$p\oplus q$
True	True	False
True	False	True
False	True	True
False	False	False
注：True：真，False：假。

无论怎样改变同一行中 $p,q,p\oplus q$ 的位置，真值表都是成立的。

其他表示

在数学和工程学中，常常用其他的逻辑运算符来表示异或算符。异或算符可以使用逻辑算符逻辑与 $\land$ ，逻辑或 $\lor$ 和逻辑非 $\lnot$ 表示为：

{\begin{aligned}p\oplus q&=(p\land \lnot q)\lor (\lnot p\land q)=p{\overline {q}}+{\overline {p}}q\\&=(p\lor q)\land (\lnot p\lor \lnot q)=(p+q)({\overline {p}}+{\overline {q}})\\&=(p\lor q)\land \lnot (p\land q)=(p+q)({\overline {pq}})\end{aligned}}

另外，异或算符可以被推广，得到关于n个运算元的异或运算：n个运算元的n维异或的值为真当且仅当其中值为真的运算元有奇数个。

异或也可以被表示为：

p\oplus q=\lnot ((p\land q)\lor (\lnot p\land \lnot q))

异或还可以看作是逻辑等价关系的非运算。

性质

交换律： $p\oplus q=q\oplus p$

结合律： $p\oplus (q\oplus r)=(p\oplus q)\oplus r$

恒等律： $p\oplus 0=p$

归零律： $p\oplus p=0$

对合运算： $p\oplus q\oplus q=p\oplus 0=p$

与抽象代數的關係

尽管算子 $\wedge$ （逻辑合取）与 $\lor$ （逻辑析取）是逻辑系统中最为常见的算子，但结构上，系统 $(\{T,F\},\wedge )$ and $(\{T,F\},\lor )$ 只是幺半群。因此，这两个系统无法合成为一个更大的结构，比如环或半环。

但是，带有逻辑异或的系统 $(\{T,F\},\oplus )$ 是一个交换群。因此，算子 $\wedge$ 与 $\oplus$ 的结合在集合 $\{T,F\}$ 上作用就产生了最基本的二元域 $F_{2}$ 。这个域可以得出所有运用 $(\land ,\lor )$ 可以得到的结果，并且由于附带了域的结构，可以进行代数上的进一步分析。

類似符號

名稱	符號	Unicode	圖形	符號的來源
地球	🜨	U+2295		带有赤道和一條經線的球體

應用

使用异或运算交换两个 int 类型变量的数值

C/C++

void swap(int *a, int *b) {
    *a ^= *b;
    *b ^= *a;
    *a ^= *b;
}

Java

public void swap(int a, int b) {
    a ^= b;
    b ^= a;
    a ^= b;
}

C#

public void swap(ref int a,ref int b)
{
    a ^= b;
    b ^= a;
    a ^= b;
}

Rust

fn swap<'a, 'b>( num_a: &'a mut i32, num_b: &'b mut i32 ) {
    *num_a ^= *num_b;
    *num_b ^= *num_a;
    *num_a ^= *num_b;
}

雖然XOR運算可用來交換變數，但比起使用額外變數來交換變數的做法相比，效能反而比較差。

参考来源

Germundsson, Roger; Weisstein, Eric. . MathWorld. Wolfram Research. [17 June 2015].

参见

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[wolfram-1] Germundsson, Roger; Weisstein, Eric. . MathWorld. Wolfram Research. [17 June 2015].