弦切角定理

已知:線段${\displaystyle AB}$与${\displaystyle \odot O}$相切，弦切角${\displaystyle \angle BAC}$所夹的弧是${\displaystyle {\overset {\frown }{AC}}}$，${\displaystyle \angle P}$是${\displaystyle {\overset {\frown }{AC}}}$所对的圆周角。

求证: ${\displaystyle \angle BAC=\angle P}$

证明:

（1）当圆心${\displaystyle {\mathit {O}}}$在${\displaystyle \angle BAC}$的${\displaystyle AC}$上时，如图1.

∵${\displaystyle {\mathit {AB}}}$与圆${\displaystyle {\mathit {O}}}$相切於点${\displaystyle {\mathit {A}}}$.

∴${\displaystyle \angle BAC=90^{\circ }}$

∵${\displaystyle AC}$是${\displaystyle \odot O}$的直径.

∴${\displaystyle \angle P=90^{\circ }}$

∴${\displaystyle \angle BAC=\angle P}$

（2）当圆心${\displaystyle {\mathit {O}}}$在${\displaystyle \angle BAC}$的外部时，如图2，作${\displaystyle \odot O}$的直径${\displaystyle AQ}$，连结${\displaystyle CQ}$.

∵${\displaystyle \angle BAQ=\angle ACQ=90^{\circ }}$

∴${\displaystyle \angle BAC=90^{\circ }-\angle 1}$, ${\displaystyle \angle Q=90^{\circ }-\angle 1}$

∴${\displaystyle \angle BAC=\angle Q}$

又∵${\displaystyle \angle P=\angle Q}$

∴ ${\displaystyle \angle BAC=\angle P}$

（3）当圆心${\displaystyle {\mathit {O}}}$在${\displaystyle \angle BAC}$的内部时，如图3，作${\displaystyle \odot O}$的直径${\displaystyle AQ}$，再连结${\displaystyle CQ}$.

∵${\displaystyle \angle BAC=180^{\circ }-\angle DAC}$,

${\displaystyle \angle P=180^{\circ }-\angle Q}$,

又由(2)可知，${\displaystyle \angle DAC=\angle Q}$,

∴${\displaystyle \angle BAC=\angle P}$

综上所述，可知${\displaystyle \angle BAC=\angle P}$.

1. 人民教育出版社中学数学室. 第1版. 北京: 人民教育出版社. 1996.12: 134–136. ISBN 7-107-12025-5. 请检查|date=中的日期值 (帮助)