形变收缩

设 X 是一个拓扑空间，A 是 X 的一个子空间。那么连续映射

${\displaystyle r:X\to A}$

是一个收缩如果 r 在 A 上的限制是 A 上的恒等映射；这就是说，r(a) = a 对所有 a 属于 A。等价地，记

${\displaystyle \iota :A\hookrightarrow X}$

为包含，一个收缩是一个连续映射 r 使得

${\displaystyle r\circ \iota =id_{A},}$

即 r 与 包含的复合是 A 的恒等。注意，由定义，一个收缩映射 X 映满 A。如果存在收缩映射，则子空间 A 称为 X 的一个收缩核（）。例如，任何空间以显然的方式收缩到一点（取常数映射为收缩）。

如果 X 嵌入任何正规空间 Y，作为 Y 的闭子集，X 是 Y 的收缩核，则空间 X 称为绝对收缩核（或 AR）。

如果存在一個開集 U 使得

${\displaystyle A\subset U\subset X}$

且 A 是 U 的一個收縮核，則 A 稱為 X 的一個鄰域收縮核。

如果空間 X 閉嵌入任何正規空間 Y中，X 是 Y 的一個鄰域收縮核，稱為 X 為一個絕對鄰域收縮核（或 ANR）。

称连续映射

${\displaystyle d:X\times [0,1]\to X}$

是一个形变收缩，如果对任何x 属于 X 及 a 属于 A 有

${\displaystyle d(x,0)=x,\;d(x,1)\in A}$，以及 ${\displaystyle d(a,1)=a.}$

换句话说，形变收缩是收缩与 X 上恒等映射的同伦。子空间 A 称为 X 的形变收缩核。形变收缩核是一类特殊的同伦等价。

收缩不一定是形变收缩。例如，以一个单点作为形变收缩核意味着是道路连通的（事实上这个空间是可缩的）。

注：形变收缩的另一个等价的定义如下。连续映射 r: X → A 是一个形变收缩如果它是一个收缩且它与包含映射的复合同伦于 X 上的恒等映射。在这种表述下，一个形变收缩得出它与 X 上的恒等映射之间的一个同伦。

如果在形变收缩的定义中，我们添加条件：

${\displaystyle d(a,t)=a\,}$

对多有 t 属于 [0, 1]，d 称为一个强形变收缩（）。换句话说，强形变收缩在同伦中保持 A 中的点不动（也有一些作者将其作为形变收缩的定义）。