彼得-魏尔定理

设${\displaystyle G}$为紧群，${\displaystyle C(G)}$是${\displaystyle G}$上所有复值连续函数构成、配备了一致范数的赋范线性空间，${\displaystyle \Delta }$是${\displaystyle G}$的所有有限维不可约酉表示的矩阵元张成的线性空间，则${\displaystyle \Delta }$在${\displaystyle C(G)}$中稠密。[3]

对${\displaystyle \forall \chi \in C(G)}$，可以定义卷积算子${\displaystyle T_{\chi }:L^{2}(G)\to L^{2}(G)}$：

${\displaystyle T_{\chi }(\phi )(v)=\int \mathrm {d} g\chi (g)\phi (g^{-1}v)}$

利用阿尔泽拉引理可以证明，该算子是${\displaystyle L^{2}(G)}$上的紧算子。

设${\displaystyle f\in C(G)}$，由${\displaystyle G}$的紧性可知${\displaystyle f}$在${\displaystyle G}$上一致连续。即对任意${\displaystyle \epsilon >0}$，存在群单位元${\displaystyle e}$的邻域的${\displaystyle U}$，使得任意${\displaystyle u,v\in G,uv^{-1}\in U}$，都有${\displaystyle |f(v)-f(u)|<{\frac {\epsilon }{2}}}$。不失一般性，可以假设${\displaystyle U^{-1}=U}$。

设${\displaystyle \chi }$是定义在${\displaystyle G}$上，且支集${\displaystyle supp(\chi )\subset U}$的连续实值函数。由乌雷松引理，这样的函数总是存在的。不失一般性，可以假设${\displaystyle \chi (v)=\chi (v^{-1})}$且${\displaystyle \int \mathrm {d} g\chi (g)=1}$，因为对任意${\displaystyle \chi }$总可以通过如下的变换使其满足上述条件：

${\displaystyle \chi (v)\to {\frac {\chi (v)+\chi (v^{-1})}{\int \mathrm {d} g(\chi (g)+\chi (g^{-1}))}}}$

此时，可以证明${\displaystyle T_{\chi }}$为${\displaystyle L^{2}(G)}$上的紧自伴算子。利用紧自伴算子的谱定理，可知：

${\displaystyle L^{2}(G)=(\sum _{i}\oplus V_{\lambda _{i}})\oplus V_{0}}$

其中${\displaystyle V_{\lambda _{i}}}$为算子${\displaystyle T_{\chi }}$本征值为${\displaystyle \lambda _{i}\neq 0}$的有限维本征子空间，${\displaystyle V_{0}}$是${\displaystyle T_{\chi }}$的核。因此，${\displaystyle T_{\chi }(f)\in Im(T_{\chi })=C(G)-V_{0}}$可以写成一列绝对一致收敛的函数项级数和：

${\displaystyle \lim _{i\to \infty }\sum _{i}f_{i}\rightrightarrows T_{\chi }(f),f_{i}\in V_{\lambda _{i}}}$

故而存在${\displaystyle N}$，使得${\displaystyle \forall v\in G}$，${\displaystyle |T_{\chi }(f)(v)-\sum _{i=1}^{N}f_{i}(v)|<{\frac {\epsilon }{2}}}$。

另一方面：

${\displaystyle |T_{\chi }(f)(v)-f(v)|=|\int \mathrm {d} g\chi (g)(f(g^{-1}v)-f(v))|<{\frac {\epsilon }{2}}}$

因此：

${\displaystyle |f-\sum _{i=1}^{N}f_{i}(v)|<\epsilon }$

设${\displaystyle L(g):C(G)\to C(G)}$是${\displaystyle G}$的左正则表示，不难证明算子${\displaystyle L(g)}$与${\displaystyle T_{\chi }}$对易，因此本征子空间${\displaystyle V_{\lambda _{i}}}$也是左正则表示的有限维不变子空间。由于有限维表示完全可约，${\displaystyle V_{\lambda _{i}}}$可以写成${\displaystyle G}$的有限维不可约酉表示的表示空间的直和。在每个这样的空间${\displaystyle X}$上：

${\displaystyle f_{i}(g)=L(g^{-1})(f_{i})(e)=\sum _{j=1}^{dimX}r_{ij}(g)^{*}f_{j}(e)}$

其中${\displaystyle r_{ij}}$是该不可约表示的矩阵元。这意味着${\displaystyle V_{\lambda _{i}}\subset \Delta }$，进而${\displaystyle \sum _{i=1}^{N}f_{i}(v)\in \Delta }$。总之，对于任意${\displaystyle f\in C(G)}$，${\displaystyle \epsilon >0}$，都存在${\displaystyle \Delta }$中的某个元素，使得其与${\displaystyle f}$之差的一致范数小于${\displaystyle \epsilon }$。这意味着${\displaystyle \Delta }$在${\displaystyle C(G)}$中稠密。[3][4]

以上证明的思路来自彼得和魏尔的原始论文。实际上，利用格尔范德-赖科夫定理和魏尔斯特拉斯逼近定理亦可直接推出本定理。[2]

设${\displaystyle R}$是紧群${\displaystyle G}$在可分希尔伯特空间${\displaystyle H}$上的任意酉表示，则${\displaystyle H}$可分解为${\displaystyle R}$的有限维不变子空间的直和，其中每个子空间都承载了${\displaystyle G}$的不可约表示。[2][5]

设${\displaystyle \langle ,\rangle }$是${\displaystyle H}$上定义的内积。对任意${\displaystyle u\in H,||u||=1}$，定义算子${\displaystyle T_{u}:H\to H}$：

${\displaystyle T_{u}(v)=\int \mathrm {d} g\langle v,R(g)u\rangle R(g)u}$

可证${\displaystyle T_{u}}$是${\displaystyle H}$上的非零紧自伴算子，且与${\displaystyle R(g)}$对易。利用紧自伴算子的谱定理，可对${\displaystyle H}$作如下分解：

${\displaystyle H=(\sum _{i}\oplus H_{\lambda _{i}})\oplus H_{0}}$

其中，${\displaystyle T_{u}}$的每个有限维特征子空间${\displaystyle H_{\lambda _{i}}}$又是群表示${\displaystyle R}$的不变子空间，故其可进一步分解为承载${\displaystyle G}$的有限维不可约表示的子空间的直和。

设${\displaystyle H'}$是${\displaystyle H}$中可以分解为承载有限维不可约表示的子空间的直和的最大子空间，${\displaystyle H'}$是${\displaystyle H''}$的正交补。（由佐恩引理，这样做是合法的。）显然${\displaystyle H''}$也是${\displaystyle R}$的不变子空间，若${\displaystyle H''}$不是零空间，${\displaystyle R}$在${\displaystyle H''}$上的限制也是${\displaystyle G}$的酉表示。因此，将以上的论证中的${\displaystyle H}$用${\displaystyle H''}$代替，则可立即推出${\displaystyle H''}$也有承载${\displaystyle G}$的有限维不可约表示的子空间。这与${\displaystyle H'}$的定义矛盾。因此${\displaystyle H''=\{0\}}$，定理得证。[2]

设${\displaystyle G}$是紧群，则${\displaystyle G}$的所有不等价不可约酉表示的矩阵元的集合${\displaystyle \{{\sqrt {d_{\rho }}}R_{ij}^{\rho }|1\leqslant i,j\leqslant d_{\rho }\}}$构成${\displaystyle L^{2}(G)}$的标准正交基。[2][5]

注意到${\displaystyle C(G)}$在${\displaystyle L^{2}(G)}$中稠密，利用舒尔正交关系和定理I即可得到本定理。[2]

由彼得-魏尔定理可以推出如下结论：[1][3]

设${\displaystyle g}$是紧群${\displaystyle G}$任意非恒等元，则存在${\displaystyle G}$的不可约表示${\displaystyle R}$，使得${\displaystyle R(g)}$不是单位矩阵。换言之，如果${\displaystyle g}$和${\displaystyle h}$属于紧群${\displaystyle G}$，对${\displaystyle G}$的一切不可约表示，${\displaystyle g}$和${\displaystyle h}$的表示矩阵都相同，则${\displaystyle g=h}$。证明如下：

对任意${\displaystyle g\neq e}$，由乌雷松引理，存在${\displaystyle G}$上连续函数${\displaystyle f}$使得${\displaystyle f(a)\neq f(e)}$。由彼得-魏尔定理，${\displaystyle f}$可以写成一列绝对一致收敛的矩阵元${\displaystyle f_{i}}$的级数和。若对一切不可约表示${\displaystyle R}$，${\displaystyle R(g)}$都是单位阵，则前述级数展开的每一项，都满足${\displaystyle f_{i}(g)=f_{i}(e)}$，因此${\displaystyle f(a)=f(e)}$。这一矛盾意味着必然存在某个不可约表示${\displaystyle R}$，使得${\displaystyle R(g)}$不是单位矩阵。[3]

该推论最早出现在彼得和魏尔的原始论文中，并在相关理论日后的发展过程中发挥了重要的作用。冯诺依曼解决紧群版本的希尔伯特第五问题时，就用到了这一推论。[1]

紧群${\displaystyle G}$上群共轭不变的函数构成${\displaystyle L^{2}(G)}$的子空间类函数空间。利用彼得-魏尔定理可以推出，${\displaystyle G}$的所有不可约表示的特征标张成的线性空间在类函数空间稠密：[2][3]

设${\displaystyle f}$是任意共轭不变的函数。由彼得-魏尔定理，对任意${\displaystyle \epsilon >0}$，存在${\displaystyle h\in \Delta }$，使得${\displaystyle |f(x)-h(x)|<\epsilon }$。记${\displaystyle p(x)}$为如下积分：

${\displaystyle p(x)=\int \mathrm {d} gh(gxg^{-1})}$

由于${\displaystyle h\in \Delta }$，${\displaystyle p\in \Delta }$，且${\displaystyle p(g^{-1}xg)=p(x)}$。利用舒尔正交关系可证，${\displaystyle p}$可以写成特征标的线性组合。此外，因${\displaystyle f}$共轭不变，注意到以下事实本推论即证：

${\displaystyle |f(x)-p(x)|=|\int \mathrm {d} gf(gxg^{-1})-\int \mathrm {d} gh(gxg^{-1})|<\epsilon }$

该推论在连通紧李群表示的分类理论中扮演着重要的角色。[6]