微元法

在求解力学量和物理量的实际应用中，很多新量的建立需要类似定积分中在求解面积和路程问题时分割、近似、求和、取极限的过程，为了使这一过程简化，微元法也就应运而生，微元法本身就是定积分的原始思想，它可以看做分割、近似、求和、取极限的简略过程，所以微元法也是一种思想方法。

历史上，在微积分的理论基础还不清楚，微分还没有严格定义时，微分被理解为一个比零大，但又比任何正数小的神秘的“数”，是无法理解的，这与现代明确的微分定义是不同的，它所对应的被度量的物理量就是微元。微元就是用这种无限小“微分”度量的具体的量，把微元理解为一个“无限小的过程”即“元过程”，这个“过程”可以是角度、线段、面、体，还可以是时间、位移、功等等，积分便是这些“无限小过程”之和，在求解力学量和物理量时，用这种想法可以快速地建立新量的积分表达式，因为这种想法方便实用，简便快捷，所以应用相当广泛。

当微积分的理论基础严格建立起来之后，旧的微分概念被抛弃了，取而代之的是现在的微分概念，微元法也有了严格的叙述方式，但在实际应用中，严格叙述较为繁琐，所以往往还是采用过去的理解，把微元看做“无限小的过程”。

假设在某一实际问题中，对于给定的连续函数${\displaystyle y=f(x)}$，量${\displaystyle Q}$有以下三个特点：

1.一方面，${\displaystyle Q}$是由区间${\displaystyle [a,b]}$所决定的常量，不妨记之为${\displaystyle Q([a,b])}$。另一方面，当考虑右端点变动的区间${\displaystyle [a,x](a<x\leq b)}$时，${\displaystyle Q([a,x])}$又依赖于${\displaystyle x}$而成为变量，也就是说，它又是${\displaystyle x}$的函数而简记为${\displaystyle Q(x)}$。
2.对于${\displaystyle [a,b]}$的每个子区间，${\displaystyle Q}$都有确定的值，并且关于区间有可加性，即若${\displaystyle [\alpha ,\beta ]\subset [a,b],[\beta ,\gamma ]\subset [a,b]}$，则

${\displaystyle Q([\alpha ,\gamma ])=Q([\alpha ,\beta ])+Q([\beta ,\gamma ]).}$

3.部分量${\displaystyle \Delta Q_{i}}$的近似值可表示为${\displaystyle f(\xi _{i})\Delta x_{i}}$。

为了计算出量${\displaystyle Q}$并把它表达为积分的形式，我们采取两个步骤：

第一步（分割、近似），将区间${\displaystyle [a,b]}$进行分割，而得到

${\displaystyle a=x_{0}<x_{1}<\cdots <x_{n-1}<x_{n}=b}$,

并求出${\displaystyle Q([x_{i},x_{i+1}])}$(即${\displaystyle \Delta Q_{i}}$)的近似值${\displaystyle f(\xi _{i})\Delta x_{i}}$。

第二步（求和、取极限），将${\displaystyle f(\xi _{i})\Delta x_{i}}$关于${\displaystyle i}$从${\displaystyle 0}$到${\displaystyle n-1}$求和得到

${\displaystyle Q([a,b])=\sum _{i=0}^{n-1}Q([x_{i},x_{i+1}])\approx \sum _{i=0}^{n-1}f(\xi _{i})\Delta x_{i}}$

令${\displaystyle max\left\{\Delta x_{i}\right\}\rightarrow 0}$取极限，由于连续函数${\displaystyle f(x)}$的可积性，最后得

${\displaystyle Q([a,b])=\int _{a}^{b}f(x)\,dx}$

接下来我们把这个过程进行简化。

由上式可以知道

${\displaystyle Q(x)=Q([a,x])=\int _{a}^{x}f(x)\,dx(a<x\leq b)}$

如果略去足码${\displaystyle i}$，而将任意的小区间记为${\displaystyle [x,x+dx]}$，并取${\displaystyle Q([x,x+dx])}$的近似值为${\displaystyle f(x)dx}$，由微分形式的微积分基本定理[1]可知，它恰恰是${\displaystyle Q(x)}$的微分，即${\displaystyle dQ=dQ(x)=f(x)dx}$ 于是在实际应用上，上述两个步骤可以简述为

第一步，在区间${\displaystyle [x,x+dx]}$上计算${\displaystyle Q}$的微分${\displaystyle dQ=f(x)dx}$

第二步，在${\displaystyle [a,b]}$上求和（求积）得

${\displaystyle Q=\int _{a}^{b}f(x)\,dx}$

不论是几何的物理的还是其他科学技术的量，只要它具有上述的三个特点，我们就可以用这个一般的程式求出它。这种方法通常称为无穷小元素的求和法或微元法。而${\displaystyle dx}$及${\displaystyle dQ}$则称为无穷小元素或微元。由于在力学和物理学的大部分问题中，通过问题的实际意义可以知道，所求量的函数是连续函数，因此微元法总是可以应用的。

• 《微积分学教程》菲赫金哥尔茨编
• 《数学分析》宋国柱等编
• 《数学分析（第三版）》华东师范大学数学系编
• 《高等数学（第六版）》同济大学数学系编