微磁学

交换能是与磁矩之间的交换作用相关的能量。 交换能可表示为:${\displaystyle E_{\text{exch}}=A\int _{V}\left((\nabla m_{x})^{2}+(\nabla m_{y})^{2}+(\nabla m_{z})^{2}\right)\mathrm {d} V}$

式中${\displaystyle A}$为交换作用常数，${\displaystyle m_{x},m_{y},m_{z}}$是磁矩${\displaystyle m}$在三个方向上的分量。如前所述，交换作用倾向于使磁矩统一指向一个方向，因为在这时交换作用能最低。

各向异性能来自于材料的微观各向异性，与晶体结构的对称性有关。 各项异性能可表示为

${\displaystyle E_{\text{anis}}=\int _{V}F_{\text{anis}}(\mathbf {m} )\mathrm {d} V}$

式中${\displaystyle F_{anis}}$是各向异性能密度，与磁矩的指向方向有关。磁矩的指向方向为易轴时，各向异性能最低。

赛曼能来源于磁矩和外加磁场的作用。当磁矩与外场方向一致时，该能量最低。 赛曼能可表示为

${\displaystyle E_{\text{Z}}=-\mu _{0}\int _{V}\mathbf {M} \cdot \mathbf {H} _{\text{a}}\mathrm {d} V}$

其中${\displaystyle H_{a}}$是外加磁场，${\displaystyle \mu _{0}}$是真空磁导率。

退磁场是磁距在铁磁体内部给自己施加的场。 退磁场能可表示为

${\displaystyle E_{\text{demag}}=-{\frac {\mu _{0}}{2}}\int _{V}\mathbf {M} \cdot \mathbf {H} _{\text{d}}\mathrm {d} V}$

式中${\displaystyle H_{d}}$是退磁场。这个场的大小与方向是磁矩的分布决定的：

${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {H} _{\text{d}}=-\nabla \cdot \mathbf {M} }$

${\displaystyle \nabla \times \mathbf {H} _{\text{d}}=0}$

式中−∇·M又被称为磁荷密度。从式中可以看出，退磁场来源于磁矩M分布的不均匀性(若分布均匀则${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {M} =0}$)。这些方程的解是：

${\displaystyle \mathbf {H} _{\text{d}}=-{\frac {1}{4\pi }}\int _{V}\nabla \cdot \mathbf {M} {\frac {\mathbf {r} }{r^{3}}}\mathrm {d} V}$

式中r是从积分点指向观察点的矢量。

值得注意的是，在平衡态下，总能量最低，但并不代表每项能量都处于最低状态。实际上磁矩经常不均匀分布，以增加交换能的代价降低了退磁场能，而使得总能量最低。

等效场是磁矩感受到的所有场的总和。它可以由以下公式描述：

${\displaystyle \mathbf {H} _{\mathrm {eff} }=-{\frac {1}{\mu _{0}M_{s}}}{\frac {\mathrm {d} ^{2}E}{\mathrm {d} \mathbf {m} \mathrm {d} V}}}$

式中dE/dV是能量密度。

由能量密度的表达式，可以计算出：

${\displaystyle \mathbf {H} _{\mathrm {eff} }={\frac {2A}{\mu _{0}M_{s}}}\nabla ^{2}\mathbf {m} -{\frac {1}{\mu _{0}M_{s}}}{\frac {\partial F_{\text{anis}}}{\partial \mathbf {m} }}+\mathbf {H} _{\text{a}}+\mathbf {H} _{\text{d}}}$

LLG方程是磁矩的动力学方程。它描述了磁矩在等效场下的拉莫爾進動，以及一个阻尼项。 LLG方程可表示为

${\displaystyle {\frac {\partial \mathbf {m} }{\partial t}}=-|\gamma |\mathbf {m} \times \mathbf {H} _{\mathrm {eff} }+\alpha \mathbf {m} \times {\frac {\partial \mathbf {m} }{\partial t}}}$

在数学上可以推出LLG方程等价于下面的方程（又称为LL方程）：

${\displaystyle {\frac {\partial \mathbf {m} }{\partial t}}=-{\frac {|\gamma |}{1+\alpha ^{2}}}\mathbf {m} \times \mathbf {H} _{\mathrm {eff} }-{\frac {\alpha |\gamma |}{1+\alpha ^{2}}}\mathbf {m} \times (\mathbf {m} \times \mathbf {H} _{\text{eff}})}$

式中${\displaystyle \gamma }$为旋磁比，${\displaystyle \alpha }$为Gilbert阻尼常数。