快樂數

快樂數有以下的特性：在給定的進位制下，該數字所有數字平方和（數位的平方和），得到的新數再次求所有數位的平方和，如此重複進行，最終結果必為1。

以十進位為例：

2 8 → ${\displaystyle {{{2}^{2}}+{{8}^{2}}}=68}$ → ${\displaystyle {{{6}^{2}}+{{8}^{2}}}=100}$ → ${\displaystyle {{{{1}^{2}}+{{0}^{2}}}+{{0}^{2}}}=1}$

3 2 → ${\displaystyle {{{3}^{2}}+{{2}^{2}}}=13}$ → ${\displaystyle {{{1}^{2}}+{{3}^{2}}}=10}$ → ${\displaystyle {{{1}^{2}}+{{0}^{2}}}=1}$

3 7 → ${\displaystyle {{{3}^{2}}+{{7}^{2}}}=58}$ → ${\displaystyle {{{5}^{2}}+{{8}^{2}}}=89}$ → ${\displaystyle {{{8}^{2}}+{{9}^{2}}}=145}$ → ${\displaystyle {{{{1}^{2}}+{{4}^{2}}}+{{5}^{2}}}=42}$ → ${\displaystyle {{{4}^{2}}+{{2}^{2}}}=20}$ → ${\displaystyle {{{2}^{2}}+{{0}^{2}}}=4}$ → ${\displaystyle {{4}^{2}}=16}$ → ${\displaystyle {{{1}^{2}}+{{6}^{2}}}=37}$${\displaystyle ......}$

5 6 → ${\displaystyle {{{5}^{2}}+{{6}^{2}}}=61}$ → ${\displaystyle {{{6}^{2}}+{{1}^{2}}}=37}$ → ${\displaystyle {{{3}^{2}}+{{7}^{2}}}=58}$ → ${\displaystyle {{{5}^{2}}+{{8}^{2}}}=89}$ → ${\displaystyle {{{8}^{2}}+{{9}^{2}}}=145}$ → ${\displaystyle {{{{1}^{2}}+{{4}^{2}}}+{{5}^{2}}}=42}$ → ${\displaystyle {{{4}^{2}}+{{2}^{2}}}=20}$ → ${\displaystyle {{{2}^{2}}+{{0}^{2}}}=4}$ → ${\displaystyle {{4}^{2}}=16}$ → ${\displaystyle {{{1}^{2}}+{{6}^{2}}}=37}$${\displaystyle ......}$

因此28和32是快樂數，而在37和56的計算過程中，數字會重複出現，繼續計算的結果只會是上述數字的循環（不快樂數循環），不會出現1，因此37和56不是快樂數。

不是快樂數的數稱為不快樂數（英語：），所有不快樂數的數位平方和計算，最後都會進入 4 → 16 → 37 → 58 → 89 → 145 → 42 → 20 → 4 的循環中。

在十進位下，100以內的快樂數有（OEIS數列A007770）：1, 7, 10, 13, 19, 23, 28, 31, 32, 44, 49, 68, 70, 79, 82, 86, 91, 94, 97, 100，共20個。