快樂數

快樂數有以下的特性:在給定的進位制下,該數字所有數字平方和(數位的平方和),得到的新數再次求所有數位的平方和,如此重複進行,最終結果必為1。

以十進位為例:

2 8 →
3 2 →
3 7 →
5 6 →

因此28和32是快樂數,而在37和56的計算過程中,數字會重複出現,繼續計算的結果只會是上述數字的循環(不快樂數循環),不會出現1,因此37和56不是快樂數。

不是快樂數的數稱為不快樂數(英語:),所有不快樂數的數位平方和計算,最後都會進入 41637588914542204 的循環中。

在十進位下,100以內的快樂數有OEIS數列A0077701, 7, 10, 13, 19, 23, 28, 31, 32, 44, 49, 68, 70, 79, 82, 86, 91, 94, 97, 100,共20個。

快樂數表格

以下是小於100的快樂數表格,綠色數字表示它是快樂數,紅色數字表示它是不快樂數循環

00010203040506070809
10111213141516171819
20212223242526272829
30313233343536373839
40414243444546474849
50515253545556575859
60616263646566676869
70717273747576777879
80818283848586878889
90919293949596979899

以下是100到小於200的快樂數表格,綠色數字表示它是快樂數,紅色數字表示它是不快樂數循環

100101102103104105106107108109
110111112113114115116117118119
120121122123124125126127128129
130131132133134135136137138139
140141142143144145146147148149
150151152153154155156157158159
160161162163164165166167168169
170171172173174175176177178179
180181182183184185186187188189
190191192193194195196197198199

以下是200到小於300的快樂數表格,綠色數字表示它是快樂數。

200201202203204205206207208209
210211212213214215216217218219
220221222223224225226227228229
230231232233234235236237238239
240241242243244245246247248249
250251252253254255256257258259
260261262263264265266267268269
270271272273274275276277278279
280281282283284285286287288289
290291292293294295296297298299

300以內的快樂數沒有其中一位是5,300以內的數其中有一位是5,它一定不是快樂數。

以下是300到小於400的快樂數表格,綠色數字表示它是快樂數。

300301302303304305306307308309
310311312313314315316317318319
320321322323324325326327328329
330331332333334335336337338339
340341342343344345346347348349
350351352353354355356357358359
360361362363364365366367368369
370371372373374375376377378379
380381382383384385386387388389
390391392393394395396397398399

發現10*10、100*100等表格的快樂數表格有線對稱

快樂數的因數

以下是300以內的快樂數因數

快樂數因數因數個數奇偶數數字和
111奇數1
71、72奇數7
101、2、5、104偶數1
131、132奇數4
191、192奇數10
231、232奇數5
281、2、4、7、14、286偶數10
311、312奇數4
321、2、4、8、16、326偶數5
441、2、4、11、22、446偶數8
491、7、493奇數13
681、2、4、17、34、686偶數14
701、2、5、7、10、14、35、708偶數7
791、792奇數16
821、2、41、824偶數10
861、2、43、864偶數14
911、7、13、914奇數10
941、2、47、944偶數13
971、972奇數16
1001、2、4、5、10、20、25、50、1009偶數1
1031、1032奇數4
1091、1092奇數10
1291、3、43、1294奇數12
1301、2、5、10、13、26、65、1308偶數4
1331、7、19、1334奇數7
1391、1392奇數13
1671、1672奇數14
1761、2、4、8、11、16、22、44、88、17610偶數14
1881、2、4、47、94、1886偶數17
1901、2、5、10、19、38、95、1908偶數10
1921、2、3、4、6、8、12、16、24、32、48、64、96、19214偶數12
1931、1932奇數13
2031、7、29、2034奇數5
2081、2、4、8、13、16、26、52、104、20810偶數10
2191、3、73、2194奇數12
2261、2、113、2264偶數10
2301、2、5、10、23、46、115、2308偶數5
2361、2、4、59、118、2366偶數11
2391、2392奇數14
2621、2、131、2624偶數10
2631、2632奇數11
2801、2、4、5、7、8、10、14、20、28、35、40、56、70、140、28016偶數10
2911、3、97、2914奇數12
2931、2932奇數14

由表格可知:

  • 128以內快樂數沒有因數3、6、9等數,如果128以內的數是3的倍數等,它一定不是快樂數。
  • 1000以內快樂數沒有因數9、15、18、21等數,如果1000以內的數是9的倍數等,它一定不是快樂數。
  • 1000以內快樂數同樣也沒有能被25整除但不能被100整除,即尾數是(25、50或75的數),如果1000以內的數是25的倍數但不是100的倍數,它一定不是快樂數。
  • 1000以內的快樂數有143個,只有7個是3的倍數,129192219291、888、912、921,機率:5%。
  • 1000以內的快樂數有143個,有其中一位是5的只有12個,356365536556、563、565、566、635、653、655、656、665,機率:8%。
  • 1000以內的快樂數有143個,只有3個是25的倍數,1007001000機率:2%。

快樂質數

在十進位下,300以內的快樂質數有OEIS數列A0354977, 13, 19, 23, 31, 79, 97, 103, 109, 139, 167, 193, 239, 263, 293,共15個。

快樂完全數

已知的51個完全數,只有3個是快樂數:284968128

其他進制的快樂數

  • 三進制:1, 3, 9, 13, 17, 23, 25, 27, 31, 35, 37, 39, 47, 51, 53, 59, 61, 65, 69, 71, 73, 75, 77, 79, 81, 85, 89, 91, 93 OEIS數列A239320
  • 五進制:1, 5, 7, 11, 19, 23, 25, 27, 33, 35, 41, 43, 49, 51, 55, 79, 81, 83, 91, 93, 95, 99 OEIS數列A240849
  • 任何進制(最小快樂數且大於1):2, 3, 2, 5, 6, 7, 8, 3, 7, 11, 12, 13, 14, 15, 2, 17, 2, 5, 2, 21, 22, 23, 24, 5, 26, 27, 28, 3, 2, 31, 32, 33, 3, 35, 6, 31, 38, 39, 40, 13, 42, 43, 44, 45, 46, 47, 48, 7, 50, 51, 52, 31, 54, 53, 56, 57, 58, 59, 54, 61, 62, 63, 8, 65, 66, 67, 12, 69, 70, 71, 72

OEIS數列A161871

其他进制的不快樂數循環

  • 2进制
    • 每個數都是快樂數
  • 3进制
    • 2 → 11 → 2
      在十进制中為2 → 4 → 2
  • 4进制
    • 每個數都是快樂數
  • 5进制
    • 4 → 31 →20 → 4
      在十进制中為4 → 16 → 10 → 4
    • 23 → 23
      在十进制中為13 → 13
  • 6进制
    • 5 → 41 → 25 → 45 → 105 → 42 → 32 → 21 → 5
      在十进制中為5 → 25 → 17 → 29 → 41 → 26 → 20 → 13 → 5
  • 7进制
    • 2 → 4 → 22 → 11 → 2
      在十进制中為2 → 4 → 16 → 8 → 2
    • 34 → 34
      在十进制中為25 → 25
  • 8进制
    • 4 → 20 → 4
      在十进制中為4 → 16 → 4
    • 5 → 31 → 12 → 5
      在十进制中為5 → 25 → 10 → 5
    • 32 → 15 → 32
      在十进制中為26 → 13 → 26
  • 9进制
    • 58 → 108 → 72 → 58
      在十进制中為53 → 89 → 65 → 53
    • 55 → 55
      在十进制中為50 → 50
  • 10进制
    • 4 → 16 → 37 → 58 → 89 → 145 → 42 → 20 → 4
  • 11进制
    • 75 → 68 → 91 → 75
      在十进制中為82 → 74 → 100 → 82
    • 23 → 12 → 5 → 23
      在十进制中為25 → 13 → 5 → 25
  • 12进制
    • 22 → 8 → 54 → 35 → 2A → 88 → A8 → 118 → 56 → 51 → 22
      在十进制中為26 → 8 → 64 → 41 → 34 → 104 → 128 → 164 → 66 → 61 → 26
    • 21 → 5 → 21
      在十进制中為25 → 5 → 25
  • 13进制
    • 79 → A0 → 79
      在十进制中為100 → 130 → 100
    • 36 → 36
      在十进制中為45 → 45
    • B2 → 98 → B2
      在十进制中為145 → 125 → 145
    • 67 → 67
      在十进制中為85 → 85
    • 14 → 14
      在十进制中為17 → 17
  • 16进制
    • D → A9 → B5 → 92 → 55 → 32 → D
      在十进制中為13 → 169 → 181 → 146 → 85 → 50 → 13

其他性質

  • 快樂數加入數字0或交換的數也是快樂數,不快樂數的情況也是。例如:49是快樂數,94、4900也是快樂數;123不是快樂數,321、10203、123000也不是快樂數
  • 通过检查十进制中前一百万个快乐数,它们的自然密度似乎约为0.15。十进制快乐数也许没有渐近密度。快乐数的自然密度上限大于0.18577,下限小于0.1138。[1]
  • 十進位不快樂數的循環只有一個,是 41637588914542204

Python程式碼

#ishappy number

def ishappy(n):
    a = []
    while n not in a:
        a.append(n)
        n = sum([int(x) **2 for x in str(n)])
        
    return 'happy' if n == 1 else 'unhappy'

相關條目

外部連結

  1. Gilmer, Justin. . Integers. 2013, 13 (2): 2. Bibcode:2011arXiv1110.3836G. arXiv:1110.3836可免费查阅.
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