戴德金分割

根据戴德金分割中${\displaystyle A}$和${\displaystyle A'}$是否有最大数、最小数，可以将戴德金分割分为三种类型：

1. ${\displaystyle A}$中有最大数，${\displaystyle A'}$中无最小数
2. ${\displaystyle A}$中无最大数，${\displaystyle A'}$中有最小数
3. ${\displaystyle A}$中无最大数，${\displaystyle A'}$中无最小数

可以证明，“${\displaystyle A}$中有最大数，${\displaystyle A'}$中有最小数」的情况并不存在。证明如下：

如果${\displaystyle A}$有最大数${\displaystyle a}$，${\displaystyle A'}$有最小数${\displaystyle b}$，则根据分割的定义可知 ${\displaystyle a<b}$。但是 ${\displaystyle (a+b)/2}$ 显然也是有理数，并且 ${\displaystyle a<(a+b)/2<b}$，因此 ${\displaystyle (a+b)/2}$ 既不在 ${\displaystyle A}$ 中, 也不在 ${\displaystyle A'}$ 中，这就与 ${\displaystyle A\cup A'}$ 是全体有理数矛盾。

第三种情况揭示了在有理数域中存在这样的一种「空隙」（${\displaystyle A}$和${\displaystyle A'}$之间的界数），这个「空隙」所对应的数既不属于${\displaystyle A}$，也不属于${\displaystyle A'}$，因此它不是有理数，它所对应的数就是无理数，因此说第3种情况的戴德金分割定义了一个无理数。

作为一个直观的理解，我们可以把上面三种分化分别看成 ${\displaystyle (-\infty ,d]\cup (d,+\infty )}$、${\displaystyle (-\infty ,d)\cup [d,+\infty )}$ 和 ${\displaystyle (-\infty ,d)\cup (d,+\infty )}$，而“${\displaystyle A}$中有最大数、${\displaystyle A'}$中有最小数”的情况就是 ${\displaystyle (-\infty ,d]\cap [d,+\infty )}$，中间的分割点d同时（不合法地）属于两边集合。

1. 将所有小于或等于0的有理数划分为集合${\displaystyle A}$，将所有余下的有理数（即大于0的有理数）划分为集合${\displaystyle A'}$，则${\displaystyle A|A'}$是一个戴德金分割，并属于上述分类中的第1种情形。
2. 将所有小于0的有理数划分为集合${\displaystyle A}$，将所有余下的有理数（即大于或等于0的有理数）划分为集合${\displaystyle A'}$，则${\displaystyle A|A'}$是一个戴德金分割，并属于上述分类中的第2种情形。
3. 将所有小于或等于0、其平方小于或等于3的正有理数（即满足${\displaystyle \forall a\in \mathbb {Q} ,a\leq 0,a^{2}\leq 3}$的数）划分到集合${\displaystyle A}$，将余下的有理数（即其平方大于3的正有理数）划分到集合${\displaystyle A'}$，则${\displaystyle A|A'}$是一个戴德金分割，并属于上述分类中的第3种情形，此时戴德金分割${\displaystyle A|A'}$定义了无理数${\displaystyle {\sqrt[{}]{3}}}$。

假设无理数${\displaystyle \alpha }$由分划${\displaystyle A|A'}$所确定，无理数${\displaystyle \beta }$由分划${\displaystyle B|B'}$所确定，则

1. 若集合${\displaystyle A=B}$或${\displaystyle A'=B'}$，则称无理数${\displaystyle \alpha }$与${\displaystyle \beta }$相等，记为${\displaystyle \alpha =\beta }$。
2. 若集合${\displaystyle A\supset B}$（${\displaystyle A\neq B}$），则称无理数${\displaystyle \alpha }$大于${\displaystyle \beta }$，记为${\displaystyle \alpha >\beta }$。

无理数小于（${\displaystyle <}$）的概念可由大于（${\displaystyle >}$）的概念定义，即${\displaystyle \beta <\alpha }$当且仅当${\displaystyle \alpha >\beta }$。如此得到實數系的大小關係，其性質有：

1. 任意实数${\displaystyle \alpha ,\beta }$，必有且只有下列关系式之一成立：${\displaystyle \alpha =\beta ,\alpha >\beta ,\alpha <\beta }$。
2. 传递性：若实数${\displaystyle \alpha >\beta ,\beta >\gamma }$，则${\displaystyle \alpha >\gamma }$。对于小于（${\displaystyle <}$）的情形，传递性同样成立。

所以該大小關係是全序關係。

• 无理数
• 實數的構造

• 菲赫金哥尔茨; 杨弢亮 译; 叶彦谦 译; 郭思旭 校. 第8版. 高等教育出版社. : 5–6. ISBN 5-9221-0436-5.