投射分解

在同調代數中，一個阿貝爾範疇 ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ 中的對象 ${\displaystyle A}$ 之投射分解定義為一個正合序列

${\displaystyle \cdots \longrightarrow P_{n}\longrightarrow P_{n-1}\longrightarrow \cdots \longrightarrow P_{0}\longrightarrow A\longrightarrow 0}$

或簡寫成 ${\displaystyle P_{\bullet }\rightarrow A\rightarrow 0}$，使得其中每個 ${\displaystyle P_{n}}$ 皆為投射對象。對任一對象 ${\displaystyle A}$，任兩個投射分解至多差一個鏈複形的同倫等價。

若 ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ 中的每個對象都有投射分解，則稱 ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ 有充足的投射元，這類範疇上能以投射分解開展同調代數的研究。典型例子包括：

• 環 ${\displaystyle R}$ 上的模構成之範疇 ${\displaystyle \mathbf {Mod} _{R}}$，這是交換代數的主要對象。模上投射分解的特例是自由分解，此時我們要求每個 ${\displaystyle P_{\bullet }}$ 都是自由模；由於任何模均可表成自由模的商，自由分解總是存在的。希爾伯特合衝定理斷言：若取 ${\displaystyle R}$ 為域上的多項式環，則自由分解在有限步之內停止。
• 群 ${\displaystyle G}$ 的 ${\displaystyle G}$-模範疇 ${\displaystyle G-\mathbf {Mod} }$，也就是帶有 ${\displaystyle G}$ 的群作用的阿貝爾群，此範疇上能定義群上同調。

反例則包括一般概形 ${\displaystyle X}$ 上的凝聚層範疇 ${\displaystyle \mathbf {Coh} _{X}}$。

與此對偶的概念是內射分解。