拉格朗日定理 (群論)

定义二元关系${\displaystyle \sim }$：${\displaystyle a\sim b\Longleftrightarrow a^{-1}b\in H}$。下面证明它是一个等价关系。

1. 自反性：${\displaystyle \forall x\in G,~~x^{-1}x=e\in H~~\implies ~~x\sim x}$
2. 对称性：${\displaystyle \forall x,y\in G,~~x\sim y\implies x^{-1}y\in H}$，因此${\displaystyle y^{-1}x=(x^{-1}y)^{-1}\in H}$，因此${\displaystyle y\sim x\cdot }$
3. 传递性：${\displaystyle \forall x,y,z\in A,~~~(x\sim y~~\wedge ~~y\sim z)~~\implies ~~x^{-1}y\in H\wedge y^{-1}z\in H}$，因此${\displaystyle x^{-1}z=x^{-1}y\cdot y^{-1}z\in H}$，因此${\displaystyle x\sim z\cdot }$。

可以证明，${\displaystyle (a^{-1}b\in H)\Longleftrightarrow (aH\cap bH\neq \varnothing )\Longleftrightarrow (aH=bH)}$。因此左陪集是由等价关系${\displaystyle \sim }$确定的等价类。

拉格朗日定理说明，如果商群G / H存在，那么它的阶等于H对G的指数[G:H]。

${\displaystyle {\displaystyle \left|G\right|=\left[G:H\right]\cdot \left|H\right|{\mbox{,}}}}$

上述写法在G为无限群时也成立。

1. 由拉格朗日定理可立即得到：由有限群G中一个元素a的阶数整除群G的阶（考虑由a生成的循环群）。

2. 如果${\displaystyle n}$是质数，那么所有阶数为${\displaystyle n}$的群都同构（因为素数只有1和它本身为约数）。

3. 费马小定理是拉格朗日定理的一个简单推论。

拉格朗日定理的逆命题并不成立。给定一个有限群G和一个整除G的阶的整数d，G并不一定有阶数为 d的子群。最简单的例子是4次交替群A₄，它的阶是12，但对于12的因数6，A₄没有6阶的子群。对于这样的子群的存在性，柯西定理和西洛定理给出了一个部分的回答。