拉薩爾不變集原理

考慮以下方程式的系統

${\displaystyle {\dot {\mathbf {x} }}=f\left(\mathbf {x} \right)}$

其中${\displaystyle \mathbf {x} }$為符合以下條件的變數向量

${\displaystyle f\left(\mathbf {0} \right)=\mathbf {0} .}$

若可以找到${\displaystyle C^{1}}$ 函数 ${\displaystyle V(\mathbf {x} )}$，使下式成立

${\displaystyle {\dot {V}}(\mathbf {x} )\leq 0}$針對所有${\displaystyle \mathbf {x} }$（半負定）

則任何軌跡中聚點（accumulation point）的集合都在${\displaystyle {\mathcal {I}}}$內， ${\displaystyle {\mathcal {I}}}$是其完整軌跡完全在${\displaystyle \{\mathbf {x}$ :{\dot {V}}(\mathbf {x} )=0\}} 集合的聯集。

若${\displaystyle V}$函數又有正定的性質，即

${\displaystyle V(\mathbf {x} )>0}$，針對所有的${\displaystyle \mathbf {x} \neq \mathbf {0} }$

${\displaystyle V(\mathbf {0} )=0}$

而且${\displaystyle {\mathcal {I}}}$除了${\displaystyle \mathbf {x} (t)=\mathbf {0} }$ for ${\displaystyle t\geq 0}$的平凡軌跡外，未包括其他軌跡，則原點為李雅普诺夫稳定性。

再者，若${\displaystyle V}$是徑向無界（radially unbounded）

當${\displaystyle \Vert \mathbf {x} \Vert \to \infty }$時，${\displaystyle V(\mathbf {x} )\to \infty }$

原點為全域漸近穩定。

若

${\displaystyle V(\mathbf {x} )>0}$，當${\displaystyle \mathbf {x} \neq \mathbf {0} }$時

${\displaystyle {\dot {V}}(\mathbf {x} )\leq 0}$

當${\displaystyle \mathbf {x} }$在原點的鄰域${\displaystyle D}$內才成立，且集合

${\displaystyle \{{\dot {V}}(\mathbf {x} )=0\}\bigcap D}$

除了${\displaystyle \mathbf {x} (t)=\mathbf {0} ,t\geq 0}$的軌跡外，不包括其他系統的軌跡，則依照拉薩爾不變集原理的局部穩定版本，原點有局部的漸近穩定性。

If ${\displaystyle {\dot {V}}(\mathbf {x} )}$為負定，則原點的全域漸進穩定是李雅普诺夫第二定理的結果。若${\displaystyle {\dot {V}}(\mathbf {x} )}$只是半負定，不變集原理也是判斷漸近穩定性的準則。

此段落會用不變集原理來確立簡單系統的區部漸近穩定性。此系統的微分方程如下：

${\displaystyle ml{\ddot {\theta }}=-mg\sin \theta -kl{\dot {\theta }}}$

其中${\displaystyle \theta }$是單擺的角度，以垂直往下的角度為0度，${\displaystyle m}$是單擺的質量，${\displaystyle k}$是摩擦係數，g是因重力產生的加速度。

因此可以將系統方程式表示如下

${\displaystyle {\dot {x}}_{1}=x_{2}}$

${\displaystyle {\dot {x}}_{2}=-{\frac {g}{l}}\sin x_{1}-{\frac {k}{m}}x_{2}}$

利用不變集原理，可以證明一定大小的球體，若初始位置在原點附近${\displaystyle x_{1}=x_{2}=0}$，可以證明其所有的軌跡都會漸近收斂到原點。定義${\displaystyle V(x_{1},x_{2})}$為

${\displaystyle V(x_{1},x_{2})={\frac {g}{l}}(1-\cos x_{1})+{\frac {1}{2}}x_{2}^{2}}$

${\displaystyle V(x_{1},x_{2})}$即為系統的能量。${\displaystyle V(x_{1},x_{2})}$在原點附近，半徑${\displaystyle \pi }$的開球體內為正定。計算其導數

${\displaystyle {\dot {V}}(x_{1},x_{2})={\frac {g}{l}}\sin x_{1}{\dot {x}}_{1}+x_{2}{\dot {x}}_{2}=-{\frac {k}{m}}x_{2}^{2}}$

可觀察到${\displaystyle V(0)={\dot {V}}(0)=0}$。若${\displaystyle {\dot {V}}<0}$成立，可以依李雅普诺夫第二定理得到所有軌跡都會到達原點的結論。不過很可惜，${\displaystyle {\dot {V}}\leq 0}$及${\displaystyle {\dot {V}}}$只是半負定。不過，以下集合

${\displaystyle S=\{(x_{1},x_{2})|{\dot {V}}(x_{1},x_{2})=0\}}$

也就是

${\displaystyle S=\{(x_{1},x_{2})|x_{2}=0\}}$

除了平凡軌跡x = 0外，不包括系統內的任何軌跡。若在特定時間 ${\displaystyle t}$, ${\displaystyle x_{2}(t)=0}$，則因為${\displaystyle x_{1}}$必需小於${\displaystyle \pi }$，則${\displaystyle \sin x_{1}\neq 0}$且${\displaystyle {\dot {x}}_{2}(t)\neq 0}$。因此，軌跡不會停留在集合${\displaystyle S}$內。

不變集原理的所有條件都滿足，也可以下結論說：所有在原點附近的軌距，當${\displaystyle t\rightarrow \infty }$時，最後都會收斂到原點。

此結果是由約瑟夫·皮爾·拉薩爾（在RIAS）及尼古拉·尼古拉耶維奇·克拉索夫斯基兩人獨立發現，兩人分別在1960年及1969年發表。約瑟夫·皮爾·拉薩爾在1960年發表此論文，是西方第一位發表此定理的人，而1952年由Barbashin及尼古拉·尼古拉耶維奇·克拉索夫斯基曾提到此定理中的特例，而1959年時由克拉索夫斯基發表了一般性的定理。

• 穩定性理論
• 李雅普诺夫稳定性

• LaSalle, J.P. Some extensions of Liapunov's second method, IRE Transactions on Circuit Theory, CT-7, pp. 520–527, 1960. (PDF （页面存档备份，存于）)
• Barbashin, E. A.; Nikolai N. Krasovskii. [On the stability of motion as a whole]. Doklady Akademii Nauk SSSR. 1952, 86: 453–456 （俄语）.
• Krasovskii, N. N. Problems of the Theory of Stability of Motion, (Russian), 1959. English translation: Stanford University Press, Stanford, CA, 1963.

• LaSalle, J.P.; Lefschetz, S. . Academic Press. 1961.
• Haddad, W.M.; Chellaboina, VS. . Princeton University Press. 2008 [2019-04-30]. ISBN 9780691133294. （原始内容存档于2019-04-30）.
• Teschl, G. . Providence, Rhode Island: American Mathematical Society. 2012 [2019-04-30]. ISBN 978-0-8218-8328-0. （原始内容存档于2012-06-26）.
• Wiggins, S. 2. New York City: Springer Verlag. 2003. ISBN 0-387-00177-8.

• 德克萨斯州农工大学不變集原理的講義（PDF）
• 北卡罗来纳州立大学拉薩爾不變集原理的講義（PDF （页面存档备份，存于））
• 加利福尼亞理工學院拉薩爾不變集原理的講義（PDF （页面存档备份，存于））
• 麻省理工学院拉薩爾穩定性分析及不變集原理的開放講程講義（PDF （页面存档备份，存于））
• 普渡大學穩定性理論及拉薩爾不變集原理的講義（PDF）