拉比判别法

对任意级数${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}}$

• 如果存在 ${\displaystyle r>1}$ ，${\displaystyle n_{0}\in \mathbb {N} ^{*}}$ ,使得当 ${\displaystyle n>n_{0}}$ 时，有

${\displaystyle n\left(\left|{\frac {a_{n}}{a_{n+1}}}\right|-1\right)\geq r}$，

那么级数${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}}$绝对收敛。

• 如果对充分大的 ${\displaystyle n}$ ，有

${\displaystyle n\left(\left|{\frac {a_{n}}{a_{n+1}}}\right|-1\right)\leq 1}$，

那么级数${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}}$发散。[1]

对任意级数${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}}$ ，令

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }n\left(\left|{\frac {a_{n}}{a_{n+1}}}\right|-1\right)=r,}$

• ${\displaystyle r>1}$ 时级数绝对收敛
• ${\displaystyle r<1}$ 时說明级数 ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }|a_{n}|}$ 发散(沒有絕對收斂)，原級數 ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}}$ 可能收斂也可能發散。
• ${\displaystyle r=1}$ 时级数可能收敛也可能发散[2][3]

• 当 ${\displaystyle r>1}$ 时，存在 ${\displaystyle p}$ 使得 ${\displaystyle r>p>1}$. 则:

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }n\left(\left|{\frac {a_{n}}{a_{n+1}}}\right|-1\right)=r>p=\lim _{n\to \infty }n\left(\left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{p}-1\right)}$

${\displaystyle \Rightarrow \quad n\left(\left|{\frac {a_{n}}{a_{n+1}}}\right|-1\right)>n\left(\left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{p}-1\right)\quad }$ 对充分大的 ${\displaystyle n}$

${\displaystyle \Rightarrow \quad \left|{\frac {a_{n}}{a_{n+1}}}\right|>{\frac {(n+1)^{p}}{n^{p}}}}$

${\displaystyle \Rightarrow \quad \left|{\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}\right|<{\frac {\frac {1}{(n+1)^{p}}}{\frac {1}{n^{p}}}}}$

因为当 ${\displaystyle p>1}$ 时级数 ${\displaystyle \sum n^{-p}}$ 收敛，故级数 ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }\left|a_{n}\right|}$ 在 ${\displaystyle r>1}$ 时收敛，即级数 ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}}$ 绝对收敛。 [4]

• 当 ${\displaystyle r<1}$ 时，有

${\displaystyle n\left(\left|{\frac {a_{n}}{a_{n+1}}}\right|-1\right)\leq 1,}$，则

${\displaystyle \left|{\frac {a_{n}}{a_{n+1}}}\right|\leq 1+{\frac {1}{n}}={\frac {n+1}{n}}}$，即

${\displaystyle \left|{\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}\right|\geq {\frac {n}{n+1}}={\frac {\frac {1}{n+1}}{\frac {1}{n}}}}$

由于 ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n}}}$ 发散，故 ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}}$ 发散。[1]

当 ${\displaystyle r=1}$ 时无法判断其敛散性，举例如下:

已知有

${\displaystyle {\frac {n+1}{n}}({\frac {\ln(n+1)}{\ln n}})^{\alpha }=1+{\frac {1}{n}}+{\frac {\alpha }{n\ln n}}+o({\frac {1}{n\ln n}})}$

令 ${\displaystyle a_{n}={\frac {1}{n(\ln n)^{\alpha }}}}$

已知当 ${\displaystyle \alpha >1}$ 时，${\displaystyle \sum _{n=2}^{\infty }a_{n}<+\infty }$ ；当 ${\displaystyle \alpha \leq 1}$ 时，${\displaystyle \sum _{n=2}^{\infty }a_{n}=\infty }$ ，然而由上式得

${\displaystyle n\left({\frac {a_{n}}{a_{n+1}}}-1\right)=1+{\frac {\alpha }{\ln n}}+o({\frac {1}{\ln n}})\rightarrow 1(n\rightarrow \infty )}$

这说明当 ${\displaystyle r=1}$ 时，拉比判别法无效。[5]