拓撲比較

在拓撲學和其相關的數學領域裡，拓撲比較是指在同一個給定的集合上的兩個拓撲結構之間的關係。在一給定的集合上的所有拓撲會形成一個偏序集合。此一序關係可以用來做不同拓撲之間的比較。

定義

定義 — ${\mathfrak {T}}_{1}$ 和 ${\mathfrak {T}}_{2}$ 都是 $X$ 的拓扑，若 ${\mathfrak {T}}_{1}\subseteq {\mathfrak {T}}_{2}$ 称 ${\mathfrak {T}}_{2}$ 比 ${\mathfrak {T}}_{1}$ 更细（fine）或更強（strong），或称 ${\mathfrak {T}}_{1}$ 比 ${\mathfrak {T}}_{2}$ 更粗（coarse）或更弱（weak）。

進一步的，若 ${\mathfrak {T}}_{1}\subset {\mathfrak {T}}_{2}$ ，称 ${\mathfrak {T}}_{2}$ 比 ${\mathfrak {T}}_{1}$ 嚴格细（strictly fine），或称 ${\mathfrak {T}}_{1}$ 比 ${\mathfrak {T}}_{2}$ 嚴格粗（strictly coarse）。[1]

直觀上， ${\mathfrak {T}}_{2}$ 有更多甚至是「更小」的鄰域去逼近拓撲空間中的一點，所以相較之下，其拓撲結構比較「細緻」。但在 ${\mathfrak {T}}_{2}$ 意義下定義的「極限」要求在更多的鄰域都要能找到逼近點，所以其拓撲結構在收斂的意義下比較「強」。至於嚴格細或粗，就是額外要求 ${\mathfrak {T}}_{1}\neq {\mathfrak {T}}_{2}$ 。

二元關係 $\subseteq$ 在 $X$ 所有的拓撲所組成的集合上定義了一個偏序集合。

例子

$X$ 的拓扑裡，最粗的是由空集和全集两个元素构成的：

{\mathfrak {T}}=\{X,\,\varnothing \}

而最细的拓扑是离散拓扑（discrete topology），也就是 $X$ 的冪集：

{\mathfrak {T}}_{D}={\mathcal {P}}(X)

最粗拓撲

定理 — 設 ${\mathcal {F}}\subseteq {\mathcal {P}}(X)$ 是 $X$ 的一個子集族，則：

\tau _{\mathcal {F}}=\bigcap {\bigg \{}{\mathfrak {T}}\,{\bigg |}\,({\mathfrak {T}}{\text{ is a topology of }}X)\wedge ({\mathcal {F}}\subseteq {\mathfrak {T}}){\bigg \}}

也是 $X$ 的拓扑。

證明

根據定理的條件，對所有集合 $A$ 有：

O\in \tau _{\mathcal {F}}\Leftrightarrow (\forall {\mathfrak {T}})\left\{[\,({\mathfrak {T}}{\text{ is a topology of }}X)\wedge ({\mathcal {F}}\subseteq {\mathfrak {T}})\,]\Rightarrow (O\in {\mathfrak {T}})\right\}

(a)

以下將逐條檢驗拓扑的定義，來驗證 $\tau _{\mathcal {F}}$ 的確是 $X$ 的拓扑：

(1) $X,\,\varnothing \in \tau _{\mathcal {F}}$

若 ${\mathfrak {T}}$ 的確是 $X$ 的拓扑，那由拓扑的定義可以得到 $X,\,\varnothing \in {\mathfrak {T}}$ ，這樣從式(a)右方就可以得到 $X,\,\varnothing \in \tau _{\mathcal {F}}$ 。

(2) $U,\,V\in \tau _{\mathcal {F}}$ 則 $U\cap V\in \tau _{\mathcal {F}}$

若 $U,\,V\in \tau _{\mathcal {F}}$ ，從式(a)左方有：

(\forall {\mathfrak {T}})\left\{[\,({\mathfrak {T}}{\text{ is a topology of }}X)\wedge ({\mathcal {F}}\subseteq {\mathfrak {T}})\,]\Rightarrow (U\in {\mathfrak {T}})\right\}

(\forall {\mathfrak {T}})\left\{[\,({\mathfrak {T}}{\text{ is a topology of }}X)\wedge ({\mathcal {F}}\subseteq {\mathfrak {T}})\,]\Rightarrow (V\in {\mathfrak {T}})\right\}

所以有：

(\forall {\mathfrak {T}})\left\{[\,({\mathfrak {T}}{\text{ is a topology of }}X)\wedge ({\mathcal {F}}\subseteq {\mathfrak {T}})\,]\Rightarrow (U,\,V\in {\mathfrak {T}})\right\}

所以根據拓扑的定義有：

(\forall {\mathfrak {T}})\left\{[\,({\mathfrak {T}}{\text{ is a topology of }}X)\wedge ({\mathcal {F}}\subseteq {\mathfrak {T}})\,]\Rightarrow (U\cap V\in {\mathfrak {T}})\right\}

這樣從式(a)右方就可以得到 $U\cap V\in \tau _{\mathcal {F}}$ 。

(3) ${\mathcal {G}}\subseteq \tau _{\mathcal {F}}$ 則 $\bigcup {\mathcal {G}}\in \tau _{\mathcal {F}}$

若 ${\mathcal {G}}\subseteq \tau _{\mathcal {F}}$ ，那對任意 $g\in {\mathcal {G}}$ ，從式(a)左方有：

(\forall {\mathfrak {T}})\left\{[\,({\mathfrak {T}}{\text{ is a topology of }}X)\wedge ({\mathcal {F}}\subseteq {\mathfrak {T}})\,]\Rightarrow (g\in {\mathfrak {T}})\right\}

所以有：

(\forall {\mathfrak {T}})\left\{[\,({\mathfrak {T}}{\text{ is a topology of }}X)\wedge ({\mathcal {F}}\subseteq {\mathfrak {T}})\,]\Rightarrow ({\mathcal {G}}\subseteq {\mathfrak {T}})\right\}

所以根據拓扑的定義有：

(\forall {\mathfrak {T}})\left\{[\,({\mathfrak {T}}{\text{ is a topology of }}X)\wedge ({\mathcal {F}}\subseteq {\mathfrak {T}})\,]\Rightarrow (\bigcup {\mathcal {G}}\in {\mathfrak {T}})\right\}

所以從式(a)右方可以得到 $\bigcup {\mathcal {G}}\in \tau _{\mathcal {F}}$ 。

綜上所述，來驗證 $\tau _{\mathcal {F}}$ 的確是 $X$ 的拓扑。 $\Box$

根據以上的定理，可以做以下的定義：

定義 — ${\mathcal {F}}\subseteq {\mathcal {P}}(X)$ 是 $X$ 的一個子集族，則：

\tau _{\mathcal {F}}=\bigcap {\bigg \{}{\mathfrak {T}}\,{\bigg |}\,({\mathfrak {T}}{\text{ is a topology of }}X)\wedge ({\mathcal {F}}\subseteq {\mathfrak {T}}){\bigg \}}

稱為包含 ${\mathcal {F}}$ 的最粗拓撲（或最弱拓撲）。

另見

初拓撲－可使集合上的一組映射皆為連續的拓撲之中，最粗糙的拓撲。
終拓撲－可使集合上的一組映射皆為連續的拓撲之中，最精細的拓撲。

參考資料

Munkres, James R. 2nd. Upper Saddle River, NJ: Prentice Hall. 2000: 77–78. ISBN 0-13-181629-2.

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[Munkres-1] Munkres, James R. 2nd. Upper Saddle River, NJ: Prentice Hall. 2000: 77–78. ISBN 0-13-181629-2.