曲線擬合

一次多项式方程${\displaystyle y=ax+b\;}$在笛卡尔平面上是一條直線，而這條直線的斜率是a。因為任何兩點可以決定一條直線，因此總能找到次數不多於1的多項式來串起任何兩個x值相異的點。

如果把多次式的次數增加到2：

${\displaystyle y=ax^{2}+bx+c\;}$

那麼只要給定x值各異的3點，總會有次數不多於2的多項式可以把它們串起。

如果把多次式的次數再增加到3：

${\displaystyle y=ax^{3}+bx^{2}+cx+d\;}$

那麼只要給定x值各異的4點，總會有次數不多於3的多項式可以把它們串起。

更準確而言，這條多項式能夠符合任何4個限制。限制可以是一點(x, y)、角度或曲率（即密切圆半徑的倒數1/R）。角度和曲率的限制通常用在曲線的終端，此時稱為終端條件 。兩條不同多項式擬合曲線的轉換處通常會用到相同的終端條件，以確保樣條（）平滑交接。也可以增加如曲率变化率等高阶约束。例如，在高速公路立体交叉点苜蓿葉型的设计中，可以理解为汽车沿着苜蓿葉立交运动时作用在汽车上的力的变化率（加加速度），并依此设定合理的限速。

一次多项式也可以拟合一个单点和一个角度的限制；三次多项式也可以拟合两点、一个角度约束以及一个曲率约束。许多其它类型的约束组合也同样可以用低阶或者高阶多项式来拟合。

在有超过n+1个约束（n是多项式的阶次）的情况下，多项式拟合可能仍然能满足所有约束。满足所有约束的精确拟合不一定能够得到（但是有可能得到，例如一次多项式拟合中的三点共线）。通常，我们需要使用一些方法来评价拟合的好坏。最小平方法就是用来评价偏离的一种常用的方法。

虽然提高多项式的次数可能可以获得精确拟合，但有时我们仍会采用近似拟合，其原因有下：

• 存在精确的拟合并也不意味着能很容易地得到这个拟合。根据使用的算法不同，可能遇到发散的情形，要么无法得到精确拟合，要么需要太长的计算时间才能获得精确拟合。不管哪种情况，最终都会以得到近似拟合而结束。
• 通常人們會希望得到一个近似的拟合以抹平数据点的随机波动，而不是为了“精确”拟合数据而扭曲拟合曲线。
• 龙格现象：高次多项式往往有高度波动的特性。如果通过两点A和B作一条曲线，可以期望该曲线也大概会通过AB中点附近的某处。但是对于高次多项式，情况就不是如此了，高次多项式曲线往往可能有绝对值很大的幅值。对于低次多项式，曲线波动不大，因此能通过中点附近（对于一次多项式，能保证肯定通过中点）。

小麥產量和土壤鹽度之間的關係[16]

其他類型的曲線在特定條件下也可使用，諸如三角函数（如正弦或餘弦函數）。

在光譜學中，數據可以使用高斯、柯西、福格特等相關函數來擬合。

在生物學、生態學、人口學、傳染病學等學科中，生物個體數增長、傳染病擴散等數據可以用逻辑斯谛函数（一种S型函數）來擬合。

在農業中，倒S型函數被用於描述作物產量和生長因子之間的關係。右方藍色的圖表是將農田中的測量數據進行S形回歸得出的。可以看出作物產量在土壤鹽度增加時先緩慢降低，之後降得更快，最終又趨於緩和。