拿破侖定理

证明段落配图

为外侧任意两个正三角形作外接圆，其两圆有2个交点，其中一个交点为中间三角形的顶点，设另外一个交点为${\displaystyle O}$，并连接${\displaystyle O}$与中间三角形的另外两个顶点，因为${\displaystyle O}$在两圆上，所以${\displaystyle \angle AOB=\angle AOC=\angle COB=120^{\circ }}$

因为中间正三角形的顶点在圆心上，且${\displaystyle AO}$、${\displaystyle BO}$、${\displaystyle CO}$是外正三角形外接圆交点的连线，所以${\displaystyle OA}$⊥${\displaystyle MN}$、${\displaystyle OB}$⊥${\displaystyle NL}$、${\displaystyle OC}$⊥${\displaystyle ML}$

因为${\displaystyle \angle ACO+\angle CAO=60^{\circ }}$，${\displaystyle \angle CAO+\angle AMN=\angle ACO+\angle CML=60^{\circ }}$，所以${\displaystyle \angle AMN+\angle CML=60^{\circ }}$，所以${\displaystyle \angle NML=60^{\circ }}$，其余二角同理。

这一定理可以等价描述为：若以任意三角形的各边为底边向形外作底角为30°的等腰三角形，则它们的顶点构成一个正三角形。
本圖形具備下列特徵:

• 線段${\displaystyle {\overline {AX}}={\overline {BY}}={\overline {CZ}}}$，且該三線段交於一點，該點到ABC三點距離之和等於${\displaystyle {\overline {AX}}}$（或${\displaystyle {\overline {BY}}}$、${\displaystyle {\overline {CZ}}}$）。
  
• ${\displaystyle {\overline {AX}}}$與${\displaystyle {\overline {MN}}}$、${\displaystyle {\overline {BY}}}$與${\displaystyle {\overline {NL}}}$、${\displaystyle {\overline {CZ}}}$與${\displaystyle {\overline {ML}}}$互相垂直。
  
• ${\displaystyle \triangle ACY,\triangle BCX,\triangle ABZ}$之外接圓相交於一點，該點即線段${\displaystyle {\overline {AX}},{\overline {BY}},{\overline {CZ}}}$之交點。
  

• 四邊形上，類似的定理為凡·奧貝爾定理。
• 拿破仑定理本身為佩特諾-伊曼-道格拉斯定理的特例。
• 内拿破侖三角形的面积大于等于 0 给出外森比克不等式。
• 西姆松定理
• 九点圆

• 拿破崙三角形的證明 （页面存档备份，存于）：利用圖解的方式，一步一步說明拿破崙三角形的原理（英文）。