指數映射 (黎曼幾何)

黎曼几何中，指數映射 $\exp _{p}$ （英語：）是由某（偽）黎曼流形 $M$ 切空间 $T_{p}M$ 的子集，到 $M$ 本身的映射。（伪）黎曼度量對應某個典範仿射聯絡，而（伪）黎曼流形的指数映射就是这个聯絡的指数映射。直觀理解，由起點 $p$ 出發，以揀選切向量 $v\in T_{p}M$ 為速度，沿流形上的「直線」行單位時間，到達的終點就是 $\exp _{p}(v)$ 。

過北極的切面，到地面表面的指數映射，地圖學稱為方位等距投影。

定義

設 $M$ 為微分流形， $p$ 為 $M$ 上一點。利用 $M$ 上的仿射联络，可以定義過 $p$ 點的測地線。[1]

設 $v\in T_{p}M$ 為於 $p$ 點的切向量，則獨有一條测地线 $\gamma _{v}$ 滿足 $\gamma _{v}(0)=p$ ，而初始切向量為 $\gamma _{v}'(0)=v$ 。對應的指數映射 $\exp _{p}$ 由

\exp _{p}(v)=\gamma _{v}(1)

定義。一般而言，指數映射不必在全個 $T_{p}M$ 有定義，而衹有局部定義，即定義域是 $T_{p}M$ 原點的小鄰域，映到 $p$ 在流形上的某鄰域內。原因是，測地線之所以存在（和唯一），藉賴常微分方程解的柯西-利普希茨定理，但該定理是僅在局部成立。若指數映射在切丛處處有定義，則該線性聯絡稱為完備。

參考資料

本節可參考Kobayashi & Nomizu (1975，§III.6)，其稱仿射聯絡為「線性聯絡」。

Kobayashi, Shoshichi; Nomizu, Katsumi, Vol. 1 New, Wiley-Interscience, 1996, ISBN 0-471-15733-3.

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[1] 本節可參考Kobayashi & Nomizu (1975，§III.6)，其稱仿射聯絡為「線性聯絡」。