指标的上升和下降

闵可夫斯基空间具有度量张量

${\displaystyle g_{\mu \nu }={\begin{pmatrix}1&0&0&0\\0&-1&0&0\\0&0&-1&0\\0&0&0&-1\end{pmatrix}}}$

共变电磁张量由下式给出

${\displaystyle F^{\mu \nu }={\begin{bmatrix}0&-E_{x}/c&-E_{y}/c&-E_{z}/c\\E_{x}/c&0&-B_{z}&B_{y}\\E_{y}/c&B_{z}&0&-B_{x}\\E_{z}/c&-B_{y}&B_{x}&0\end{bmatrix}}}$

注意：一些教材，比如 Griffiths[1]，可能有一个因子 -1。这是因为他们使用了度量张量与此处差一个符号，参见度量符号。老教材比如 Jackson 2ed 没有因子 c；他们使用高斯单位，这里使用国际单位制。

为了得到共变张量 ${\displaystyle F_{\mu \nu }\,}$，我们用

${\displaystyle F_{\mu \nu }=g_{\mu \kappa }g_{\nu \lambda }F^{\kappa \lambda }\,}$

注意因为 ${\displaystyle g_{\mu \nu }\,}$ 是对角的，上式中许多项其实没有：

${\displaystyle F_{\mu \nu }=g_{\mu \mu }g_{\nu \nu }F^{\mu \nu }\,}$

对指标 1、2、3 使用拉丁字母：

${\displaystyle F_{ij}=g_{ii}g_{jj}F^{ij}=F^{ij}\,}$

因为度量张量中的因子都是 -1。

${\displaystyle F_{ii}=(g_{ii})^{2}F^{ii}=F^{ii}\,}$

${\displaystyle F_{0i}=g_{00}g_{ii}F^{0i}=-F^{0i}\,}$

类似

${\displaystyle F_{i0}=-F^{i0}\,}$

将它们放在一起，我们得到：

${\displaystyle F_{\mu \nu }={\begin{bmatrix}0&E_{x}/c&E_{y}/c&E_{z}/c\\-E_{x}/c&0&-B_{z}&B_{y}\\-E_{y}/c&B_{z}&0&-B_{x}\\-E_{z}/c&-B_{y}&B_{x}&0\end{bmatrix}}}$

• 爱因斯坦记号
• 度量张量
• 音乐同构