方向餘弦

通常，整個剛體的空間位形可以簡易地以以下參數設定：

1. 剛體的「位置」：挑選剛體內部一點G來代表整個剛體，通常會設定物體的質心或形心為這一點。從空間參考系S觀測，點G的位置就是整個剛體在空間的位置。表示位置可以應用向量的概念。向量的起點為參考系S的原點，終點為點G。設定剛體的位置需要三個坐標，例如，採用直角坐標系，這三個坐標為x-坐標、y-坐標、z-坐標。這用掉了三個自由度。
2. 剛體的取向：描述剛體取向的方法有好幾種，包括方向餘弦、歐拉角、四元數等等。這些方法設定一個附體參考系B的取向（相對於空間參考系S）。附體參考系是固定於剛體的參考系。相對於剛體，附體參考系的取向固定不變。由於剛體可能會呈加速度運動，所以附體參考系可能不是慣性參考系。空間參考系是某設定慣性參考系，例如，在觀測飛機的飛行運動時，附著於飛機場控制塔的參考系可以設定為空間參考系，而附著於飛機的參考系則可設定為附體參考系。剛體的取向需要用到另外三個自由度。

單位向量 ${\displaystyle {\hat {\mathbf {e} _{i}}}}$ 與參考系的三個單位向量 ${\displaystyle {\hat {\mathbf {x} }}_{1}}$ 、${\displaystyle {\hat {\mathbf {x} }}_{2}}$ 、${\displaystyle {\hat {\mathbf {x} }}_{3}}$ 之間的夾角分別為 ${\displaystyle \theta _{i1}}$ 、${\displaystyle \theta _{i2}}$ 、${\displaystyle \theta _{i3}}$ 。

方向餘弦方法可以用來設定附體參考系B的取向，即剛體的取向。假設沿著參考系S的坐標軸的三個單位向量分別為 ${\displaystyle {\hat {\mathbf {x} }}_{1}}$ 、${\displaystyle {\hat {\mathbf {x} }}_{2}}$ 、${\displaystyle {\hat {\mathbf {x} }}_{3}}$ ，沿著參考系B的坐標軸的三個單位向量分別為 ${\displaystyle {\hat {\mathbf {e} }}_{1}}$ 、${\displaystyle {\hat {\mathbf {e} }}_{2}}$ 、${\displaystyle {\hat {\mathbf {e} }}_{3}}$ 。定義 ${\displaystyle {\hat {\mathbf {e} }}_{i}}$ 與${\displaystyle {\hat {\mathbf {x} }}_{j}}$ 之間的方向餘弦 ${\displaystyle a_{ij}}$ 為

${\displaystyle a_{ij}\ {\stackrel {def}{=}}\ \cos {(\theta _{ij})}={\hat {\mathbf {e} }}_{i}\cdot {\hat {\mathbf {x} }}_{j}}$ ；

其中，${\displaystyle \theta _{ij}}$ 是 ${\displaystyle {\hat {\mathbf {e} }}_{i}}$ 與 ${\displaystyle {\hat {\mathbf {x} }}_{j}}$ 之間的夾角。

${\displaystyle {\hat {\mathbf {e} }}_{1}}$ 、${\displaystyle {\hat {\mathbf {e} }}_{2}}$ 、${\displaystyle {\hat {\mathbf {e} }}_{3}}$ 與 ${\displaystyle {\hat {\mathbf {x} }}_{1}}$ 、${\displaystyle {\hat {\mathbf {x} }}_{2}}$ 、${\displaystyle {\hat {\mathbf {x} }}_{3}}$ 之間的關係分別為

${\displaystyle {\hat {\mathbf {e} }}_{1}=\cos {(\theta _{11})}{\hat {\mathbf {x} }}_{1}+\cos {(\theta _{12})}{\hat {\mathbf {x} }}_{2}+\cos {(\theta _{13})}{\hat {\mathbf {x} }}_{3}=a_{11}{\hat {\mathbf {x} }}_{1}+a_{12}{\hat {\mathbf {x} }}_{2}+a_{13}{\hat {\mathbf {x} }}_{3}}$ 、

${\displaystyle {\hat {\mathbf {e} }}_{2}=\cos {(\theta _{21})}{\hat {\mathbf {x} }}_{1}+\cos {(\theta _{22})}{\hat {\mathbf {x} }}_{2}+\cos {(\theta _{23})}{\hat {\mathbf {x} }}_{3}=a_{21}{\hat {\mathbf {x} }}_{1}+a_{22}{\hat {\mathbf {x} }}_{2}+a_{23}{\hat {\mathbf {x} }}_{3}}$ 、

${\displaystyle {\hat {\mathbf {e} }}_{3}=\cos {(\theta _{31})}{\hat {\mathbf {x} }}_{1}+\cos {(\theta _{32})}{\hat {\mathbf {x} }}_{2}+\cos {(\theta _{33})}{\hat {\mathbf {x} }}_{3}=a_{31}{\hat {\mathbf {x} }}_{1}+a_{32}{\hat {\mathbf {x} }}_{2}+a_{33}{\hat {\mathbf {x} }}_{3}}$ 。

兩個參考系的坐標軸所形成的矩陣稱為「方向餘弦矩陣」 ${\displaystyle A}$ ：

${\displaystyle A={\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\end{bmatrix}}}$ 。

採用愛因斯坦求和約定，由於 ${\displaystyle {\hat {\mathbf {e} }}_{i}=a_{ij}{\hat {\mathbf {x} }}_{j}}$ ，給定方向餘弦矩陣 ${\displaystyle A}$ ，則可設定附體參考系B的取向，也就是剛體的取向。

反過來，經過一番運算，可以得到 ${\displaystyle {\hat {\mathbf {x} }}_{j}=a_{ij}{\hat {\mathbf {e} }}_{i}}$ 。

給定位置向量 ${\displaystyle \mathbf {r} }$

${\displaystyle \mathbf {r} =x_{1}{\hat {\mathbf {x} }}_{1}+x_{2}{\hat {\mathbf {x} }}_{2}+x_{3}{\hat {\mathbf {x} }}_{3}=e_{1}{\hat {\mathbf {e} }}_{1}+e_{2}{\hat {\mathbf {e} }}_{2}+e_{3}{\hat {\mathbf {e} }}_{3}}$ ，

則 ${\displaystyle \mathbf {r} }$ 與 ${\displaystyle {\hat {\mathbf {e} }}_{i}}$ 的內積為

${\displaystyle \mathbf {r} \cdot {\hat {\mathbf {e} }}_{i}=e_{i}=a_{i1}x_{1}+a_{i2}x_{2}+a_{i3}x_{3}=a_{ij}x_{j}}$ 。

方向餘弦矩陣 ${\displaystyle A}$ 可以將從空間參考系S觀測的位置坐標 ${\displaystyle (x_{1},x_{2},x_{3})}$ ，變換為從附體參考系B觀測的位置坐標 ${\displaystyle (e_{1},e_{2},e_{3})}$ ，因此又稱為「變換矩陣」。

變換矩陣 ${\displaystyle A}$ 也可以做反變換如下：

${\displaystyle x_{j}=a_{ij}e_{i}}$ 。

變換矩陣 ${\displaystyle A}$ 是一種正交矩陣，滿足「正交條件」

${\displaystyle a_{ij}a_{ik}=\delta _{jk}}$ ；

其中，${\displaystyle \delta _{jk}}$ 是克羅內克函數。

注意到 ${\displaystyle \theta _{ij}}$ 與 ${\displaystyle \theta _{ji}}$ 不同，夾角 ${\displaystyle \theta _{ji}}$ 是${\displaystyle {\hat {\mathbf {e} }}_{j}}$ 與空間參考系S的坐標軸單位向量 ${\displaystyle {\hat {\mathbf {x} }}_{i}}$ 之間的夾角。變換矩陣 ${\displaystyle A}$ 通常不是對稱矩陣。

左圖顯示「主動變換」：參考軸固定不動，點P被旋轉 ${\displaystyle -\theta }$ 角弧成為點P'。右圖顯示「被動變換」：參考軸被旋轉 ${\displaystyle \theta }$ 角弧，而點P固定不動。

變換矩陣 ${\displaystyle A}$ 可以視為旋轉矩陣。例如，將附體參考系B或剛體旋轉，從 ${\displaystyle {\hat {\mathbf {e} }}_{1}}$ 、${\displaystyle {\hat {\mathbf {e} }}_{2}}$ 、${\displaystyle {\hat {\mathbf {e} }}_{3}}$ 旋轉 ${\displaystyle \theta }$ 角弧成為 ${\displaystyle {\hat {\mathbf {e} }}'_{1}}$ 、${\displaystyle {\hat {\mathbf {e} }}'_{2}}$ 、${\displaystyle {\hat {\mathbf {e} }}'_{3}}$ ；其中，${\displaystyle {\hat {\mathbf {e} }}_{3}={\hat {\mathbf {e} }}'_{3}}$ 。對於這旋轉，旋轉矩陣 ${\displaystyle A}$ 為

${\displaystyle A={\begin{bmatrix}\cos {\theta }&\sin {\theta }&0\\-\sin {\theta }&\cos {\theta }&0\\0&0&1\end{bmatrix}}}$ 。

參考軸 ${\displaystyle {\hat {\mathbf {e} }}'_{i}}$ 與 ${\displaystyle {\hat {\mathbf {e} }}_{j}}$ 之間的關係為

${\displaystyle {\hat {\mathbf {e} }}'_{i}=a_{ij}{\hat {\mathbf {e} }}_{j}}$ 。

旋轉矩陣 ${\displaystyle A}$ 也可以視為將點P的位置向量 ${\displaystyle \mathbf {r} =x_{i}{\hat {\mathbf {x} }}_{i}}$ 旋轉 ${\displaystyle -\theta }$ 角弧成為點P'的位置向量 ${\displaystyle \mathbf {r} '=x'_{i}{\hat {\mathbf {x} }}_{i}}$ ：

${\displaystyle x'_{i}=a_{ij}x_{j}}$ 。

• Tang, K. T. 2. Springer. 2006: 13. ISBN 3540302689.